Решение: в задании дана функция, состоящая из элементарных функций, которые непрерывны на числовой оси, поэтому точками возможного разрыва могут быть только точки, в которых меняется аналитическое выражение функции, т.е. \(x = 0;x=2\). Проанализируем поведение функции в этих точках.
В окрестности точки \(x=0\) функция определена двумя различными выражениями слева \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\) и в точке \(x=0\), справа \(f(x) = 1\), поэтому в точке \(x=0\) вычислим:
1. левосторонний предел функции \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\): $$ \lim_{x \to 0-0}f(x) = \lim_{x \to 0-0}\sqrt{1-x^2} = 1$$
2. правосторонний предел функции \(f(x) = 1\): $$\lim_{x \to 0+0}f(x) = \lim_{x \to 0+0}1 = 1$$
3. значение функции в точке \(x=0\): $$f(0) = \sqrt{1-x^2}|_{x=0} = 1$$
Таким образом получили, что односторонние пределы существуют, конечные и равны между собой, т.е. в точке \(x=0\) функция непрерывна.
В окрестности точки \(x = 2\) функция определена двумя различными выражениями слева \(f(x) = 1\) и в точке \(x = 2\), справа \(f(x) = x-2\), поэтому в точке \(x = 2\) вычислим:
1. левосторонний предел функции \(f(x) = 1\): $$ \lim_{x \to 2-0}f(x) = \lim_{x \to 2-0}1 = 1$$
2. правосторонний предел функции \(f(x) = x-2\) $$\lim_{x \to 2+0}f(x) = \lim_{x \to 2+0}(x-2) = 0$$
3. значение функции в точке \(x = 2\) равно $$f(2) = 1|_{x=2} = 1$$
Таким образом получили, что односторонние пределы существуют, конечные, но не равны между собой, т.е. в точке \(x = 2\) функция имеет разрыв первого рода, скачек функции равен 1.
Построим схематически график функции:
