Решение: найдем интеграл $$ \int x\sqrt{x-2}dx$$
находить интеграл методом замены независимой переменной. Введем замену \(x-2=t^2 => dx=2tdt\), \(x-2=t^2 => x=t^2+2\), подставляем замену в интеграл $$ \int x\sqrt{x-2}dx = \int (t^2+2)\sqrt{t^2}2tdt = $$$$ = 2 \int (t^2+2)t^2dt = 2 \int (t^4+2t^2)dt =$$ применяем формулу интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C\), получаем $$ = 2 (\frac{t^5}{5}+2\frac{t^3}{3}) + C=$$ применяем обратную замену \(x-2=t^2 => t = \sqrt{x-2}\), получаем $$ = \frac{2}{5}(x-2)^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}} + C = (x-2)^{\frac{3}{2}}(\frac{2}{5}(x-2)+\frac{4}{3}) + C = $$$$ = (x-2)^{\frac{3}{2}}(\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}+\frac{4}{3}) + C = (x-2)^{\frac{3}{2}}(\frac{2}{5}x+\frac{8}{15}) + C = $$$$ = \frac{2}{15}(x-2)^{\frac{3}{2}}(3x+4) + C$$
Ответ: \( \int x\sqrt{x-2}dx = \frac{2}{15}(x-2)^{\frac{3}{2}}(3x+4) + C \)
