Решение: решим систему уравнений $$\begin{cases}x^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}x} = 16\\ \log_{2}x-\log_{2}y=2\end{cases} =>$$ применим формулу логарифма частного \(\log_a{\frac{x}{y}}=\log_ax-\log_ay\), свойство логарифма \( \log_aa=1\), логарифм степени \(\log_ax^k=k\log_ax\), получаем $$\begin{cases}x^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}x} = 16\\ \log_{2}\frac{x}{y}=2 \log_22\end{cases} => \begin{cases}x^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}x} = 16\\ \log_{2}\frac{x}{y}= \log_24\end{cases} =>$$ $$\begin{cases}x^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}x} = 16\\ \frac{x}{y}= 4\end{cases} => \begin{cases}(4y)^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}(4y)} = 16\\ x= 4y\end{cases} =>$$ примени свойство степеней \((ab)^m = a^m*b^m\), \(a^{nm} = (a^{m})^n\) и свойство логарифма произведения \(\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay\), получаем $$ \begin{cases}4^{\log_{2}y}y^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}4+\log_{2}4y} = 16\\ x= 4y\end{cases} => \begin{cases}2^{2\log_{2}y}y^{\log_{2}y}+y^{\log_{2}4}y^{\log_{2}y} = 16\\ x= 4y\end{cases} => $$ воспользуемся основлым логарифмическим тождеством \(a^{\log_ax}=x\), получаем $$ \begin{cases}2^{ \log_{2}y^2}y^{ \log_{2}y}+y^{2 \log_{2}2}*y^{ \log_{2}y} = 16\\ x= 4y\end{cases} => \begin{cases}y^2y^{ \log_{2}y}+y^{2}*y^{ \log_{2}y} = 16\\ x= 4y\end{cases} =>$$$$ \begin{cases}y^{2+ \log_{2}y} = y^{\log_y8} \\ x= 4y\end{cases} => \begin{cases}2+ \log_{2}y = \log_y2^3 \\ x= 4y\end{cases} =>$$ применим формулу замены основания логарифма \( \log_ab=\frac{1}{\log_ba}\), $$\begin{cases}2+ \log_{2}y = \frac{3}{ \log_2y} \\ x= 4y\end{cases} => \begin{cases}(\log_{2}y)^2 + 2\log_{2}y -3 = 0 \\ x= 4y\\ \log_{2}y \ne 0 \end{cases} =>$$ решаем квадратное уравнение относительно логарифма $$\begin{cases} \log_2y_1=1; \log_2y_2=-3 \\ x= 4y\\ \log_{2}y \ne 0 \end{cases} => \begin{cases} y_1=2; y_2=\frac{1}{8} \\ x_1= 8;x_2=\frac{1}{2} \end{cases}$$
Ответ: \((8;2)\), \(( \frac{1}{2};\frac{1}{8})\)
