Решение: решим уравнение \sqrt{5-ctgx}=3-ctgx
Определим ОДЗ уравнения \begin{cases}5-ctgx \geq 0\\3-ctgx \geq 0\end{cases} => \begin{cases} ctgx \leq 5\\ ctgx \leq 3\end{cases} => ctgx \leq 3
Решаем уравнение, возводим обе части уравнения в квадрат \sqrt{5-ctgx}=3-ctgx => (\sqrt{5-ctgx})^2=(3-ctgx)^2 => 5-ctgx= 9 - 6ctgx + ctgx^2 => 4 - 5ctgx + ctgx^2 = 0 => получили квадратное уравнение относительно котангенса, решим его, найдем корни уравнения ctgx_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} => ctgx_1 = 1; \quad ctgx_2 = 4 Выбираем корень, удовлетворяющий ОДЗ ctgx \leq 3, т.е. ctgx = 1 => x = \frac{ \pi}{4} + \pi n
Ответ: решение уравнения x = \frac{ \pi}{4} + \pi n