Исследуем функцию \( y=x* e^{-x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)* e^{-(-x)^2} = -x* e^{-x^2}\) функция является не четной, т.е. симметричной относительно начала координат, поэтому можем рассматривать функцию на интервале \((0;+\infty)\), а на интервале \((-\infty;0)\) график построим путем симметрии.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( x* e^{-x^2} = 0 =>x = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = 0\), т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = x* e^{-x^2} < 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((0; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = x* e^{-x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = x* e^{-x^2} = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;0)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( x* e^{-x^2} )' = e^{-x^2} + xe^{-x^2}(-2x)= e^{-x^2}(1 -2x^2)$$ приравняем к 0 $$ e^{-x^2}(1 -2x^2) =0 => x_1= -\frac{1}{ \sqrt{2}}; x_2= \frac{1}{ \sqrt{2}}$$ функция имеет две критические (стационарные) точки \(x \pm \frac{1}{ \sqrt{2}}\).
Найдем значение функции в этих точках
\(f(-\frac{1}{ \sqrt{2}})= x* e^{-x^2} = -\frac{1}{ \sqrt{2e}} \approx 0.43 \), получили координаты критической точки \((-\frac{1}{ \sqrt{2}}; -\frac{1}{ \sqrt{2e}})\)
\(f(\frac{1}{ \sqrt{2}})= x* e^{-x^2} = \frac{1}{ \sqrt{2e}} \approx 0.43 \), получили координаты критической точки \((\frac{1}{ \sqrt{2}}; \frac{1}{ \sqrt{2e}})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки, они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -\frac{1}{ \sqrt{2}})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = e^{-x^2}(1 -2x^2) < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((-\frac{1}{ \sqrt{2}}; \frac{1}{ \sqrt{2}})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = e^{-x^2}(1 -2x^2) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( \frac{1}{ \sqrt{2}}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = e^{-x^2}(1 -2x^2) < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = -\frac{1}{ \sqrt{2}}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((-\frac{1}{ \sqrt{2}}; -\frac{1}{ \sqrt{2e}})\)
\(x = \frac{1}{ \sqrt{2}}\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимум с координатами \((\frac{1}{ \sqrt{2}}; \frac{1}{ \sqrt{2e}})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( e^{-x^2}(1 -2x^2))'=(-2x) e^{-x^2}(1 -2x^2) + -4xe^{-x^2}= 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3)$$ Приравняем к нулю $$ 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3) = 0 => x_1 = 0; x_2 = -\sqrt{1.5}; x_3 = \sqrt{1.5}$$ получили три точки возможного перегиба функции.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба.
интервал \((-\infty; -\sqrt{1.5})\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-2) = 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-\sqrt{1.5}; 0 )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-1) = 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3) > 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; \sqrt{1.5} )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(1) = 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( \sqrt{1.5}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 2xe^{-x^2}( 2x^2 -3) > 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет три точки, в которых вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -\sqrt{1.5} \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = 0 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = \sqrt{1.5} \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Найдем значение функции в точках перегиба
\(f( -\sqrt{1.5}) = x* e^{-x^2} \approx -0.27\)
\(f(0) = x* e^{-x^2} = 0\)
\(f( \sqrt{1.5}) = x* e^{-x^2} \approx 0.27\)
Координаты точек перегиба \((-\sqrt{1.5}; -0.27)\); \((0; 0)\); \((\sqrt{1.5}; 0.27)\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции вертикальной асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = x* e^{-x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{ x* e^{-x^2}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = 0\) функция наклонной асимптоты не имеет.
Наклонной асимптоты нет
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to \infty}x* e^{-x^2}= 0 $$
Уравнение горизонтальной асимптоты \(y= 0\).
Определим, с какой стороны приближается график функции к горизонтальной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty}(x* e^{-x^2}-0) = 0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty}(x* e^{-x^2}-0) = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
