Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{х \to 1}\frac{\sqrt{5-х}-\sqrt{3+х}}{х-х^2} \)
Решение: найдем предел $$ \lim_{х \to 1}\frac{\sqrt{5-х}-\sqrt{3+х}}{х-х^2} = \frac{2-2}{1-1} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя.
Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, т.е. применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), получаем $$ \lim_{х \to 1}\frac{\sqrt{5-х}-\sqrt{3+х}}{х-х^2} = \lim_{х \to 1}\frac{\sqrt{5-х}-\sqrt{3+х}}{х-х^2}*\frac{\sqrt{5-х}+\sqrt{3+х}}{\sqrt{5-х}+\sqrt{3+х}} = $$$$ = \lim_{х \to 1}\frac{(\sqrt{5-х})^2-(\sqrt{3+х})^2}{x(1-х)(\sqrt{5-х}+\sqrt{3+х})} = \lim_{х \to 1}\frac{2(1-х)}{x(1-х)(\sqrt{5-х}+\sqrt{3+х})} = $$$$ = \lim_{х \to 1}\frac{2}{x(\sqrt{5-х}+\sqrt{3+х})} = $$ в числителе и знаменателе сократили множитель \((1-x)\), который при \( \lim_{x \to 1}(1-x) = 0\), находим предел $$= \frac{2}{1(\sqrt{5-1}+\sqrt{3+1})} = \frac{2}{2+2} = \frac{1}{2}$$
Ответ: \( \lim_{х \to 1}\frac{\sqrt{5-х}-\sqrt{3+х}}{х-х^2} = \frac{1}{2}\)
