Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{х \to 0}\frac{3хtg(х)}{ \sin^2(х)} \)
Решение: найдем предел $$ \lim_{х \to 0}\frac{3хtg(х)}{ \sin^2(х)} = \frac{3*0*0}{0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Подставим \(tg(x) = \frac{ \sin(x)}{ \cos(x)}\), получаем $$\lim_{х \to 0}\frac{3хtg(х)}{ \sin^2(х)} = \lim_{х \to 0}\frac{3х \frac{ \sin(x)}{ \cos(x)}}{ \sin^2(х)} = $$$$ = \lim_{х \to 0}\frac{3х}{ \sin(х)\cos(x)}$$ в числителе и знаменателе сократили множитель \(\sin(x)\), который при \( \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0\), проверяем \( \lim_{х \to 0}\frac{3х}{ \sin(х)\cos(x)} = \frac{3*0}{0*1} = \frac{0}{0}\) Получили неопределенность, продолжаем дальнейшие преобразования.
Воспользуемся первым замечательным пределом $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1$$
Преобразуем к первому замечательному пределу $$ = \lim_{х \to 0}\frac{3х}{ \sin(х)\cos(x)} = \lim_{х \to 0}\frac{3}{ \frac{\sin(х)}{x}\cos(x)} = \frac{3}{1*1} = 3$$
Ответ: \( \lim_{х \to 0}\frac{3хtg(х)}{ \sin^2(х)} = 3\)
