Исследуем функцию \( y = \frac{2x^3+1}{x^2} \) на непрерывность и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} \frac{2x^3+1}{x^2} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} \frac{2x^3+1}{x^2} = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{2(-x)^3+1}{(-x)^2} = \frac{-2x^3+1}{x^2}\) функция не является ни четной ни нечетной. Исследуем функцию на всем ОДЗ.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{2x^3+1}{x^2} = 0 => x= -\frac{1}{ \sqrt[3]{2}} \). Кривая имеет одну точки пересечения с осью Ox с координатами \(( -\frac{1}{ \sqrt[3]{2}};0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом ОДЗ кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = -\frac{1}{ \sqrt[3]{2}}\) и одну точку разрыва x = 0 , т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -\frac{1}{ \sqrt[3]{2}})\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = \frac{2x^3+1}{x^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
интервал \(( -\frac{1}{ \sqrt[3]{2}}; 0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-0.5) = \frac{2x^3+1}{x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \(( 0; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{2x^3+1}{x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно найти значение функции при \(x = 0\), данная точка не входит в интервал ОДЗ, поэтому точек пересечения с осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{2x^3+1}{x^2})'= 2 - \frac{2}{x^3}$$ приравняем к 0 $$2 - \frac{2}{x^3} = 0 => x = 1 $$ Получили одну критическую точку. Эта точка делит ОДЗ на три интервала монотонности.
Определим монотонность функции на этих интервалах.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(-1) = 2 - \frac{2}{x^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(0.5) = 2 - \frac{2}{x^3} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(2) = 2 - \frac{2}{x^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку \(x=1\) , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка \(x=1\) производная меняет знак с \( - \quad 0 \quad +\) - точка минимума.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (2 - \frac{2}{x^3})'= \frac{6}{x^4} $$ Нужно приравнять к нулю вторую производную $$\frac{6}{x^4} = 0$$ При всех значениях \(x\) на ОДЗ функция точек перегиба не имеет, т.к. вторая производная функции не равна 0.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ.
интервал \(( -\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = -\frac{6}{x^4} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = -\frac{6}{x^4} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которой вторая производная равна нулю, т.е. нет точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{2x^3+1}{x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x*x^2} = 2 => k= 2$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$$$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{2x^3+1}{x^2} - 2x) = 0 => b=0$$
Наклонная асимптота. График функции имеет наклонную асимптоту \( y = 2x\)
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3+1}{x^2} = \pm \infty $$график функции стремится к \(\pm \infty\). Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
