Найдем предел функции $$ \lim_{х \to \infty}\frac{2х^2-х-2}{х^2-4х+10} $$ без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае преобразование многочлена). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to \infty\) стремятся к \(\infty\) и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{\infty}{\infty}\)
Решение: в данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся при \(x \to \infty\) стремятся к бесконечности т.к. к бесконечности стремятся многочлены числителя и знаменателя. $$ \lim_{х \to \infty}\frac{2х^2-х-2}{х^2-4х+10} = \frac{ \infty}{ \infty}$$При решении подобных примеров выносят из числителя и знаменателя переменную \(x\) в наибольшей степени. В данном случае наибольшая степень числителя 2, знаменателя 2. Наибольшая степень неизвестной числителя и знаменателя равны, поэтому выносим из числителя и знаменателя \(x^2\), получаем $$ \lim_{х \to \infty}\frac{2х^2-х-2}{х^2-4х+10} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} \frac{2-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1- \frac{4}{x}+\frac{10}{x^2}}= $$$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1- \frac{4}{x}+\frac{10}{x^2}}= $$ известно, что при \(\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \), т.е. мы сократили множитель, который приводил к неопределенности при \(x \to \infty\). Находим предел $$ = \frac{2-\frac{1}{ \infty}-\frac{2}{ \infty}}{1- \frac{4}{ \infty}+\frac{10}{ \infty}}= \frac{2-0-0}{1-0-0} = 2$$
Ответ: \( \lim_{х \to \infty}\frac{2х^2-х-2}{х^2-4х+10} = 2\)
