Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: $$ \lim_{х \to \infty}(\frac{х+4}{х-1})^{х+2}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{х \to \infty}(\frac{х+4}{х-1})^{х+2} = \lim_{х \to \infty}(\frac{1+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}})^{х+2} = ( \frac{1+\frac{4}{ \infty}}{1-\frac{1}{\infty}})^{\infty+2}= 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела .
Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
выделим целую часть дроби $$ \lim_{х \to \infty}(\frac{х+4}{х-1})^{х+2} = \lim_{х \to \infty}(\frac{х-1+5}{х-1})^{х+2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{х+2} \quad (1)$$ Получили \(f(x) = \frac{5}{x-1}\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{x-1}{5}\), степень \(x+2\) приведем к этому виду $$x+2 = x-1+3 = \frac{x-1}{5}*5+3$$ Подставляем в (1) $$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{х+2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}*5+3} =$$ воспользуемся свойством степеней \(a^{n+m} = a^m*a^n\) $$ = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}*5}(1+\frac{5}{х-1})^{3}] = $$$$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}*5} \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{3} = $$$$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}*5}* (1+\frac{5}{\infty-1})^{3} = $$$$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}*5}* 1^3 =$$ воспользуемся свойством степеней \(a^{nm} = (a^m)^n\) $$ = ( \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}})^5 = $$ Получили второй замечательный предел \( \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}} = e \) получаем $$ = ( \lim_{х \to \infty}(1+\frac{5}{х-1})^{\frac{x-1}{5}})^5= e^{5}$$
Ответ: \( \lim_{х \to \infty}(\frac{х+4}{х-1})^{х+2}= e^{5} \)
