Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2+x-6}\)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2+x-6} = \frac{4-4}{4+2-6} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Найдем корни многочлена знаменателя \(x^2+x-6 = 0 => (x-2)(x+3)=0\), а в числителе применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), получаем $$ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2+x-6} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)} = $$ в числителе и знаменателе сократим множитель \((x-2)\), который при \(\lim_{x \to 2} (x-2) = 0\). Это и есть тот множитель, который приводил к неопределенности при нахождении предела, продолжим поиск предела $$ = \lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x+3} = \frac{2+2}{2+3} = \frac{4}{5}$$
Ответ: \( \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2+x-6} = \frac{4}{5}\)
