Решение: Распределение вероятностей случайной величины \(X\) называется равномерным на отрезке \([\alpha;\beta]\), если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{\beta - \alpha} & x \in [\alpha;\beta]\\0 & x \notin [\alpha;\beta]\end{cases}$$
Найдем вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины \(X\) в интервал \(X > 6 => X \in (6;13)\) Вероятность будем находить по формуле $$P(a < X < b) = \int_{a}^{b}p(x)dx = \int_{a}^{b}\frac{1}{\beta - \alpha}dx = \frac{b-a}{\beta - \alpha} \quad (1)$$Плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{13-5} & x \in [5;13]\\ 0 & x \notin [5;13]\end{cases} $$подставляем в (1) получаем $$P(6 < X < 13) = \frac{13-6}{13-5} = \frac{7}{8} $$
Найдем математической ожидание случайной величины \(X\) при равномерном распределении.
Воспользуемся формулой $$M(X) = \int_{\alpha}^{\beta}xp(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}x\frac{1}{\beta - \alpha}dx = $$$$ = \frac{1}{\beta - \alpha}\frac{x^2}{2}|_{\alpha}^{\beta} = \frac{1}{\beta - \alpha}\frac{\beta^2 - \alpha^2}{2} = \frac{\beta + \alpha}{2}$$ т.е. математическое ожидание при равномерном распределении равно $$M(X) = \frac{\beta + \alpha}{2} \quad $$ подставляем данные задачи $$M(X) = \frac{13+5}{2} = 9$$
Ответ: вероятность \(P(X > 6) = \frac{7}{8}\), математическое ожидание равно \(M(X) = 9\)
