Решение: пусть \(X\) - дискретная случайная величина равная числу удачных экспериментов в серии из 3 экспериментов, тогда \(X \in \text{{0,1,2,3}}\), запишем закон распределения случайной величины в виде таблицы:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& & & & \\ \hline \end{array} $$
Найдем вероятности случайных величин.
событие \(A_1\) - первый эксперимент удачный, а событие \(\overline{A_1}\) - неудачный, тогда \(P(A_1) = 0.8\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.2\)
событие \(A_2\) - второй эксперимент удачный, а событие \(\overline{A_1}\) - неудачный, тогда \(P(A_2) = 0.8\), а \(P(\overline{A_2}) = 0.2\)
событие \(A_3\) - третий эксперимент удачный, а событие \(\overline{A_1}\) - неудачный, тогда \(P(A_3) = 0.8\), а \(P(\overline{A_3}) = 0.2\)
тогда случайная величина \(X = i\) равна
\(X = 0; \quad \overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}\) - все три эксперимента неудачные
\(X = 1; \quad A_1\overline{A_2}\overline{A_3} + \overline{A_1}A_2\overline{A_3} + \overline{A_1}\overline{A_2}A_3\) - один эксперимент удачный
\(X=2; \quad A_1A_2 \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2}A_3 + \overline{A_1}A_2A_3\) - два эксперимента удачные
\(X=3; \quad A_1A_2A_3\) - три эксперимента удачные
Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем его вероятность:
1. \(X=0\) все три эксперимента неудачные
$$p(X=0) = p(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}) = p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})p(\overline{A_3}) = 0.2*0.2*0.2 = 0.008$$
2. \(X=1\) один эксперимент удачный
$$p(X=1) = p(A_1\overline{A_2}\overline{A_3} + \overline{A_1}A_2\overline{A_3} + \overline{A_1}\overline{A_2}A_3) = $$$$ = p(A_1\overline{A_2}\overline{A_3}) + p(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + p(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) =$$$$ = p(A_1)p(\overline{A_2})p(\overline{A_3}) + p(\overline{A_1})p(A_2)p(\overline{A_3}) + p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})p(A_3) = $$$$ = 0.8*0.2*0.2 + 0.2*0.8*0.2 + 0.2*0.2*0.8 = 0.096$$
3. \(X=2\) два эксперимента удачных
$$ p(X=2) = p(A_1A_2 \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2}A_3 + \overline{A_1}A_2A_3) = $$$$ = p(A_1A_2 \overline{A_3}) + p(A_1 \overline{A_2}A_3) + p(\overline{A_1}A_2A_3)= $$$$ = p(A_1)p(A_2)p(\overline{A_3}) + p(A_1)p(\overline{A_2})p(A_3) + p(\overline{A_1})p(A_2)p(A_3)= $$$$ = 0.8*0.8*0.2 + 0.8*0.2*0.8 + 0.2*0.8*0.8 = 0.384$$
4. \(X=3\) три эксперимента удачных
$$ p(X=3) = p(A_1A_2A_3)= p(A_1)p(A_2)p(A_3)= 0.8*0.8*0.8 = 0.512$$
Проверяем результат: так как все события \(X \in \text{{0,1,2,3}}\) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. \(p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) = \) \( = 0.008 + 0.096 + 0.384 + 0.512 = 1 \) расчеты проведены правильно, заполняем таблицу
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p(X=i)& 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512 \\ \hline \end{array} $$
Найдем математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
$$M(X) = x_1p(X_1) + x_2p(X_2) + ... + x_np(X_n) = \sum_{k=1}^{n}x_kp(X_k)$$
берем все данные из таблицы, получаем
$$M(X) = 0* 0.008 + 1*0.096 + 2*0.384 + 3*0.512 = 2.4$$
Ответ: математическое ожидание \(M(X) = 2.4\)
Найдем дисперсию
Запишем закон распределения случайной величины \((X-M(X))^2\)
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline X& (0-2.4)^2& (1-2.4)^2 & (2-2.4)^2 & (3-2.4)^2 \\ \hline \\ p(X=i)& 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512 \\ \hline \end{array} $$
Дисперсию дискретной случайной величины будем искать по формуле \(D(X) = \sum_{k=1}^{n}(X_k-M(X))^2p_k\)
$$D(X) = (0-2.4)^2*0.008+(1-2.4)^2*0.096+$$$$ +(2-2.4)^2*0.384+(3-2.4)^2*0.512 = 0.48$$
Ответ: дисперсия равна \(D(X) = 0.48\)
