Исследуем функцию \( y = \frac{x}{3} - \frac{3}{x} \) на непрерывность и построим ее график.
Схема исследования функции на непрерывность:
1. Найти область определения функции;
2. Точки разрыва функции и их классификация.
установить точки разрыва;
вычислить односторонние пределы в точках разрыва;
указать характер разрыва функции в точке;
вычислить предел функции при \( x \to \pm \infty\)
3 .Найти точки пересечения графика с осями координат;
4. Построить график функции.
Дополнительные пункты исследования для построения графика функции.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{-x}{3} - \frac{3}{-x} = -(\frac{x}{3} - \frac{3}{x})\) функция является не четной, т.е. симметричной относительно начала координат, поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x}{3} - \frac{3}{x}= 0 =>x^2-9 =0 => x_1=-3; \quad x_2 = 3 \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами (-3;0) и (3;0).
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =3 и одну точку разрыва x = 0 , т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; 3)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{x}{3} - \frac{3}{x} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(4) = \frac{x}{3} - \frac{3}{x} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно найти значение функции при \(x = 0\), данная точка не входит в интервал ОДЗ, поэтому точек пересечения с осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x}{3} - \frac{3}{x})'= \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2}$$ нужно приравнять к 0,т.к. оба члена суммы положительные,. то сумма всегда больше 0, т.е. на всем ОДЗ функция монотонно возрастающая.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Функция критических точек не имеет,
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2})'= -\frac{6}{x^3} $$ Нужно приравнять к нулю вторую производную. При всех значениях \(x\) на рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) функция точек перегиба не имеет, т.к. вторая производная функции не равна 0.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ в пределах рассматриваемого интервала.
интервал \((0; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = -\frac{6}{x^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которой вторая производная равна нулю, т.е. нет точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x}{3} - \frac{3}{x} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}) = \frac{1}{3} => k= \frac{1}{3}$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$$$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{x}{3} - \frac{3}{x} - \frac{1}{3}x) = 0 => b=0$$
Наклонная асимптота. График функции имеет наклонную асимптоту \( y = \frac{1}{3}x\)
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x})= \pm \infty $$график функции стремится к \(\pm \infty\). Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
