Решение: найдем значение выражения \(6^{ \frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}+\frac{1}{3}\log_6{27}} - 12\log_7{\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}} \quad (1)\)
найдем значение каждого слагаемого отдельно:
1. слагаемое \(6^{ \frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}+\frac{1}{3}\log_6{27}} \quad (2)\)
\(\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}\) - воспользуемся свойством логарифма степени \( \log_{a^q}x^{p}=\frac{p}{q}\log_ax \) , получаем \(\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6} = \frac{3}{ \log_{2}6} =\) Воспользуемся свойством замена основания логарифма \(\log_ab = \frac{1}{\log_ba}\), получаем \( \frac{3}{ \log_{2}6} = 3\log_62 \)
\( \frac{1}{3}\log_6{27} = \frac{1}{3}\log_6{3^3} = \) - воспользуемся свойством логарифма степени \( \log_{a^q}x^{p}=\frac{p}{q}\log_ax \) , получаем \(= \frac{1}{3}\log_6{3^3} = \log_63\) подставляем в (1)
$$6^{ \frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}+\frac{1}{3}\log_6{27}} = 6^{3\log_62+\log_63} = $$$$ = 6^{\log_6(2^3*3)} = 6^{\log_6(24)} => $$ применим основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ax}=x\), получаем $$6^{\log_6(24)} = 24$$
2. слагаемое \(12\log_7{\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}} \quad (2)\)
$$12\log_7{\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}} = $$ воспользуемся свойством логарифма степени \( \log_{a^q}x^{p}=\frac{p}{q}\log_ax \) и логарифмом произведения \( \log_a(xy)=\log_ax+\log_ay \) , получаем $$ = \frac{12}{5}\log_7{7\sqrt[4]{7}} = \frac{12}{5}( \log_77 + \log_7{\sqrt[4]{7}}) = $$ воспользуемся свойством логарифма \(\log_aa=1\) $$ = \frac{12}{5}( 1 + \frac{1}{4}\log_77) = \frac{12}{5}( 1 + \frac{1}{4}) = \frac{12}{5}* \frac{5}{4} = 3$$
3. подставляем результаты в (1) $$6^{ \frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}+\frac{1}{3}\log_6{27}} - 12\log_7{\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}} = 24- 3 =21$$
Ответ: \(6^{ \frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6}+\frac{1}{3}\log_6{27}} - 12\log_7{\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}} = 21\)
