Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка\( y'' +y'=e^{-x}\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y'' +y'= 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx}+λe^{λx} = 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$ λ^2 +λ = 0 => (λ + 1)λ =0 $$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_1 = 0; \quad λ_2=-1 $$ Получили действительные корни им соответствуют два решения $$y_{λ_1}(x) = e^{λ_1x} = С_1; \quad y_{λ_2}(x) = e^{λ_2x} = e^{-x} $$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(y_1(x) = С_1\) и \(y_2(x) = e^{-x}\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1 + C_2e^{-x}$$
2. Решаем неоднородное уравнение \( y'' +y'=e^{-x}\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = C_1(x) + C_2(x)e^{-x} \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ получаем $$ \begin{cases} C'_1(x)+C'_2(x)e^{-x} = 0\\ 0-C'_2(x)e^{-x} = e^{-x} \end{cases} => $$ решаем систему уравнений $$ \begin{cases} C'_1(x) + e^{-x} = 0\\ C'_2(x) = -1 \end{cases} => \begin{cases} C'_1(x) =- e^{-x} \\ C'_2(x) = -1 \end{cases}$$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$C_1(x)= -\int e^{-x}dx = e^{-x}+C_3; \quad C_2(x) = -x+C_4$$ пусть \(C_3=0; \quad C_4=0\)
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения $$y_{неодн} = e^{-x} - xe^{-x}$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} = C_1 + C_2e^{-x} + e^{-x} - xe^{-x} = C_1 + C_2e^{-x} - xe^{-x}$$
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка $$y(x) = C_1 + C_2e^{-x} - xe^{-x}$$
