Решим дифференциальное уравнение: \(y'+\frac{y}{x^2}=0\)
Решение:
Определение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ y'+\frac{y}{x^2}=0 => \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x^2}=0 =>$$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x^2} => $$ интегрируем правую и левую части уравнения $$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x^2} => \ln(y) = - \frac{1}{-2+1} \frac{1}{x} + \ln(C) $$$$ y = e^{\frac{1}{x} + \ln(C)} => y = Ce^{\frac{1}{x}}$$
Ответ: \(y = Ce^{\frac{1}{x}}\)
