Даны вершины треугольника А(22;-6), В(-2;1), С(-6;-2) . Найти: 1) Длину стороны BC; 2)Уравнение ст

Даны вершины треугольника  А(22;-6), В(-2;1), С(-6;-2) . Найти:
1)  Длину стороны BC;
Длину стороны BC будем искать по формуле расстояния между точками

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \quad (1)$$ Подставляем координаты точек  В(-2;1), С(-6;-2), получаем $$|BC| = \sqrt{(-6+2)^2+(-2-1)^2} = 5$$
Ответ: длина стороны BC равна $|BC| = 5$

2) Уравнение стороны BC;
Найдем уравнение прямой BC.  Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (2)$$ Подставляем координаты вершин:

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(-2;1), С(-6;-2)

$$BC \quad \frac{x+6}{-2+6} = \frac{y+2}{1+2} => y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}$$ Ответ: уравнение стороны BC:  $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}$

3) Уравнение высоты, проведённой из вершины А;
Найдем уравнение прямой AD, которая перпендикулярна BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых

$$k_1*k_2=-1 \quad (3)$$ Угловой коэффициент одной перпендикулярной прямой известен $k_{BC} = \frac{3}{4} =>$ из формулы (3) получаем угловой коэффициент прямой AD $k_{AD} = -\frac{4}{3}$. 

Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении 

$$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (4)$$ заданная точка А(22;-6), а заданное направление это угловой коэффициент $k_{AD} = -\frac{4}{3}$, получим $$y + 6 = -\frac{4}{3}(x -22) => y = \frac{70}{3} - \frac{4}{3}x$$
Ответ: уравнение высоты AD  $y = \frac{70}{3} - \frac{4}{3}x$

4) Уравнение медианы , проведённой из вершины А;
Для нахождения медианы AF есть координата одной точки А(22;-6), а координаты второй точки прямой F найдем как координаты середины отрезка $BC$, где В(-2;1), С(-6;-2) по формуле $F(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})$ => $F(\frac{-2-6}{2};\frac{1-2}{2})$ => $F(-4; -\frac{1}{2})$
Находим уравнение прямой $AF$ по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки А(22;-6) и F(-4;-0.5)  уравнение (1)

$$\frac{x-22}{-4-22}=\frac{y+6}{-0.5+6} => y =  -\frac{11}{52}x - \frac{70}{52}$$
Ответ: уравнение медианы $y =  -\frac{11}{52}x - \frac{70}{52}$

5) Точку пересечения стороны ВС и высоты AD
Точку пересечения стороны BC и высоты AD найдем решив систему уравнений

$$\begin{cases}y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\\y = \frac{70}{3} - \frac{4}{3}x\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} \frac{70}{3} - \frac{4}{3}x = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\\y = \frac{70}{3} - \frac{4}{3}x\end{cases} =>\begin{cases} x = 10 \\y = 10 \end{cases}$$
Ответ: точку пересечения стороны ВС и высоты $M(10;10)$