провести полное исследование функции и построить ее график $y=x - arctan(x) + \pi$

Исследуем функцию $y = x - arctan(x) + \pi$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область

$$D_f=(-\infty; +\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) = -x - arctan(-x) + \pi$ функция является ни четной ни нечетной функцией.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим

$$x - arctan(x) + \pi = 0 => x = -4.49$$ Координаты точки пересечения с осью Ox (-4.49;0) 

Интервалы знакопостоянства функции: кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства на ОДЗ, рассмотрим их
интервал $(-\infty; -4.49)$ найдем значение функции в любой точке $f(-2\pi) = x - arctan(x) + \pi < 0$, функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал $( -4.49; + \infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(2\pi) = x - arctan(x) + \pi  > 0$, функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox

5. Точка пересечения с осью Oy: 

приравняем $x=0$, получим

$$y = x - arctan(x) + \pi => y = 0 - arctan(0) + \pi  = \pi$$ Координаты точки пересечения с осью Ox (0; \pi) 

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = (x - arctan(x) + \pi)' = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{x^2+1}$$ приравняем к 0 $$\frac{x^2}{x^2+1} = 0 => x = 0$$ Получили одну критическую точку. Эта  точка делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах.
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f'(-1) = \frac{x^2}{x^2+1}  >  0$, т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал $(0; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f'(1) = \frac{x^2}{x^2+1}  >  0$, т.е. на этом интервале функция возрастает.

Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка $x=0$ производная меняет знак с $+ \quad 0 \quad +$ - знак не поменялся, т.е. эта точка экстремумом не является.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю

$$y'' = ( \frac{x^2}{x^2+1})' =  \frac{2x(x^2+1)- 2x^3}{(x^2+1)^2}=$$ $$= \frac{2x^3+2x- 2x^3}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$$ Приравняем к 0 вторую производную $$\frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 => x=0$$ Получили точку возможного перегиба $x =0$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение второй производной в любой точке интервала $f''(-1) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}  < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(0;  + \infty )$ найдем значение второй производной в любой точке интервала $f''(1) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая). Точки перегиба. Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю  - точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка $x = 0$: $\quad - \quad 0 \quad +$ вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Координаты точек перегиба  $( 0; \pi )$ 

8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Точек разрыва функция не имеет  график функции вертикальной асимптоты не имеет.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $y =x - arctan(x) + \pi$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}( x - arctan(x) + \pi) = +\infty => k= +\infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к $k = +\infty$ -  график функции наклонной асимптоты не имеет.

9. График функции.