Геометрическая прогрессия — последовательность чисел \(a_1, a_2, a_3 ...\) (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число \(q\) (знаменатель прогрессии), где \(a_1\ne 0\), \(q \ne 0\): \(a_1, a_1*q, a_`1*q^2 ... \)
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна $$S=\frac{a}{1-q}$$
В задаче говорится, что сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна \(S=\frac{a_1}{1-q}=2\), а сумма кубов ее членов равна 24. Запишем сумму кубов членов геометрической прогрессии \(a_1^3 + (a_1q)^3, (a_1q^2)^3 + (a_1q^3)^3 ... = a_1^3 + a_1^3q^3, a_1^3q^6 + a_1^3q^9 ... = \) Рассмотрим полученную последовательность. Первый член последовательности равен \(a_1^3\), а каждый последующий получается путем умножением предыдущего члена последовательности на определенное число \(q^3\) получили геометрическую прогрессию, где первый член равен \(a_1^3\), а знаменатель прогрессии \(q^3\), тогда сумму последовательности можно выразить как \(S=\frac{a_1^3}{1-q^3} = 24\). Составим систему уравнений и решим ее. $$ \begin{cases}\frac{a_1}{1-q}=2\\\frac{a_1^3}{1-q^3} = 24\end{cases} =>
\begin{cases}a_1=2(1-q)\\\frac{(2(1-q))^3}{1-q^3} = 24\end{cases} => $$применим формулу разности кубов$$ \begin{cases}a_1=2(1-q)\\\frac{8(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = 24\end{cases} => \begin{cases}a_1=2(1-q)\\\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = 3\end{cases} => $$$$\begin{cases}a_1=2(1-q)\\1-2q+q^2 =3+3q+3q^2 \end{cases} =>
\begin{cases}a_1=2(1-q)\\ 2q^2+5q+2=0 \end{cases} => $$$$\begin{cases}a_11=6, a_12=3\\ q_1=-2, q_2=-\frac{1}{2} \end{cases} $$Ответ: получили две геометрические прогрессии. Первая: первый член \(a_1=6\), знаменатель равен \(q=-2\), вторая \(a_1=3\), \(q=-\frac{1}{2}\).
