Исследуем систему линейных уравнений на совместность.
Теорема Кронекера-Капелли: Система \(AX=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы $$rg(A|b) =rg A $$
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Применим метод Гаусса для исследования, для этого выполним следующие действия:
1. Составим расширенную матрицу системы,
Для ответа на вопрос о совместность составим расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и свободных членов \((A|b) = \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 6 & 8 & 2 & 5 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 13 \end{array}\right.\right) \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли нужно найти ранг матрицы системы и сравнить с рангом расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 3 \ne 0\).
В общем случае нужно вынести 3 из первой строки для уплощения решения, но в данном случае элементы \(a_{21} = 6; \quad a_{31} = 9\) кратны 3, поэтому продолжим решение.
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\)
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 6 & 8 & 2 & 5 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 13 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & 12 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 13 \end{array}\right.\right) \sim\) Из третей строки вычтем первую строку, умноженную на \(3\)
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right.\right)\)
Из третей строки вычтем вторую строку, умноженную на \(4\)
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right)\)
Третья строка получилась нулевая. поэтому отбрасываем ее, получаем ступенчатую матрицу
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right.\right)\)
3. Определим ранг матрицы \(rgA = rg(A|b) = 2 \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{24} = 1 \ne 0\).
Из первой строки вычитаем вторую строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c}3 & 4 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right.\right)\)
Привели матрицу к ступенчатому виду, переменные \(x_1,x_4\) - базисные.
5. Записываем общее решение системы $$ \begin{cases} x_1 = 1 - \frac{4}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 -\frac{2}{3}x_4 \\ x_4 = 1 \end{cases} => \begin{cases} x_1 = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 \\ x_4 = 1 \end{cases} $$
