Задача: дано длина вектора \(|\vec{a}| = 1; \quad |\vec{b}|=4 \quad \widehat{ab} = 60^0 \), \(\vec{c} = (5\vec{a}+2\vec{b})\times(-\vec{a}+3\vec{b})\)
Найти : длину вектора \(|\vec{c}|\)
Решение: Векторным произведением двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называется вектор \(\vec{c}\), обозначаемый \(\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}\).
1. \(\vec{c} =0\), если вектора коллинеарные
2. длина вектора \(|\vec{c}| = |\vec{a}|*|\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\), если вектора не коллинеарные.
Воспользуемся алгебраическим свойством векторного произведения
\(\vec{a}\times\vec{b} = - \vec{b}\times\vec{a}\)
\(\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\)
\(\lambda \vec{a}\times\vec{b} = \vec{a}\times\lambda\vec{b} = \lambda[\vec{a}\times\vec{b}]\)
Получаем $$ \vec{c} = (5\vec{a}+2\vec{b})\times(-\vec{a}+3\vec{b}) = - 5\vec{a}\times\vec{a}+15\vec{a}\times\vec{b} - 2\vec{b}\times\vec{a} -\vec{b}\times\vec{b} = $$ из определения следует, что \(\vec{a}\times\vec{a} = 0\), \(\vec{b}\times\vec{b} = 0\),т.к. эти вектора коллинеарные, получаем $$ = 15\vec{a}\times\vec{b} - 2\vec{b}\times\vec{a} = 15\vec{a}\times\vec{b}+ 2\vec{a}\times\vec{b} = 17\vec{a}\times\vec{b}$$
Найдем длину вектора \(\vec{c}\)
$$|\vec{c}| = 17 |\vec{a}|*|\vec{b}|\sin(\widehat{ab}) = 17*1*4\sin(60^0) = 17*4*\frac{\sqrt{3}}{2} = 34\sqrt{3}$$
Ответ: длина вектора \(|\vec{c}| = 34\sqrt{3}\)
