Решим дифференциальное уравнение: \( xdy-ydx=\sqrt{x^2+y^2}dx, \quad y(1)=0\)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$ xdy-ydx=\sqrt{x^2+y^2}dx => x\frac{dy}{dx}-y=\sqrt{x^2+y^2} =>$$
1. Проведем преобразования этого дифференциального уравнения, разделим обе части уравнения на \(x\), не забываем проверить является ли \(x=0\) решением дифференциального уравнения $$ \frac{dy}{dx}- \frac{y}{x}=\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x + u-u=\sqrt{1+u^2} => u'x= \sqrt{1+u^2} =>$$ получили дифференциальное уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{du}{dx}x = \sqrt{1+u^2} => $$ Разделим переменные (перенесем переменную u в левую часть уравнения, а x в правую)$$ \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{dx}{x} => $$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \int \frac{dx}{x} => $$$$ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \ln(x) + \ln(C) \quad (1)$$
2. Найдем инетеграл \( \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}\)
Это интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 0; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = 2; \quad p = -\frac{1}{2} \).
Проверим $$ \frac{m+1}{n} + p = \frac{0+1}{2} +\frac{1}{2} = 1 \in Z$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ u^{-2} + 1 = t^2 => u^2 = \frac{1}{ t^2-1} => $$$$ -2u^{-3}du = 2tdt => u^{-3}du = -tdt$$ Преобразуем интеграл для применения замены $$ \int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}du = \int \frac{u^2}{u^3\sqrt{u^{-2}+1}}du = $$ Подставляем замену в интеграл $$ = -\int \frac{1}{(t^2-1)\sqrt{t^2}}tdt = -\int \frac{1}{ t^2-1}dt = $$$$ = -\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt = - \int \frac{1}{2}[ \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}]dt = $$ Применим табличный интеграл \( \int \frac{1}{x}dx = ln(x)+C\), получаем $$ = \frac{1}{2}( - \ln(t-1) + \ln(t+1)) +C = \frac{1}{2}\ln \frac{t+1}{t-1} +C = $$ применим обратную замену \(t = \sqrt{u^{-2}+1} => t = \frac{ \sqrt{1+u^2}}{u} \), получаем $$ = \frac{1}{2}\ln( 1 + \frac{2}{t-1}) +C = \frac{1}{2}\ln( 1 + \frac{2}{ \frac{ \sqrt{1+u^2}}{u}-1}) +C = $$$$ = \frac{1}{2}\ln( 1 + \frac{2(\sqrt{1+u^2}+u)}{ 1+u^2 -u^2}) +C = $$$$= \frac{1}{2}\ln( 1 + 2u(\sqrt{1+u^2}+u)) +C = $$$$ = \frac{1}{2}\ln(1 + u^2 + 2u\sqrt{1+u^2}+u^2) +C = $$$$ = \frac{1}{2}\ln(u +\sqrt{1+u^2})^2 +C = \ln(u +\sqrt{1+u^2}) +C = $$ Применим формулу обратного гиперболического синуса \( Arsh(x) = x+\sqrt{1+x^2}\), получаем $$ = Arsh(u) +C $$
3. Продолжаем решать дифференциальное уравнение.
Подставляем результаты в (1) $$ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \ln(x) +C => Arsh(u) = \ln(xC) => $$ Применим обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ Arsh(\frac{y}{x}) = \ln(xC) => y = xsh(\ln(xC)) =>$$$$y = x \frac{e^{\ln(xC)}- e^{ -\ln(xC)}}{2} => y = x \frac{xC- \frac{1}{xC}}{2} =>$$ получили общее решение дифференциального уравнения $$ y = x \frac{(xC)^2- 1}{2xC} => y = \frac{(xC)^2- 1}{2C}$$ получили, что \(x=0\) - является решением дифференциального уравнения.
4. Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию \( y(1)=0\)
Подставим значения в ответ и найдем константу \(C\) $$ y = \frac{(xC)^2- 1}{2C}=> 0 = \frac{C^2- 1}{2C} => $$$$ C_1=1;C_2=-1$$ получили два частных решения, удовлетворяющие начальному условию $$ y = \frac{x^2- 1}{2} \quad y = -\frac{x^2-1}{2}$$
Ответ: общее решение дифференциального уравнения \( xdy-ydx=\sqrt{x^2+y^2}dx, y(1)=0\) равно \(y = \frac{(xC)^2- 1}{2C}\), частные решения при заданных начальных условиях \( y = \frac{x^2- 1}{2} \quad y = -\frac{x^2-1}{2} \)
