Знайти межу: $$ \lim_ {n \to + \infty} \sqrt[n]{n + 2} $$
Рішення :
Знайдемо межу $$ \lim_{n \to + \infty}\sqrt[n]{n + 2} = ( \infty)^{ \frac{1}{ \infty}} = ( \infty)^{0} $$ отримали невизначеність виду \( (\infty)^{0} \). Для розкриття невизначеності виду \( ( \infty)^{0} \) користуються наступним прийомом: знаходять межу (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Після знаходження межі від нього беруть експоненту \( (\infty)^{0} = e^{ \ln(( \infty)^{0})} = e^{0 * \infty} \).
Т.ч. застосовують властивість логарифмів \(a^{ \log_ax} = a \).
Застосовуємо прийом $$ \lim_ {n \to + \infty} \sqrt[n]{n + 2} = \lim_ {n \to + \infty}e^{\ln(n + 2)^{ \frac{1}{n}}} = $$$$ \lim_ {n \to + \infty}e^{ \frac{1}{n} \ln(n + 2)} = e^{ \lim_ {n \to + \infty} \frac{1}{n} \ln(n + 2)} = \quad (1) $$ знаходимо межу від логарифма вираження $$ \lim_ {n \to + \infty} \frac{1}{n} \ln(n + 2) = \frac{ \infty} { \infty} $$ застосуємо правило Лопіталя
Правило Лопіталя: \( \lim_ {x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{0}{0} \), то $$ \lim_ {x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_ {x \ to a} \frac{f '(x)}{g'(x)} = \frac{f '(a)}{g'(a)} $$ Знайдемо похідні чисельника і знаменника $$ \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}\ln(n + 2) = \lim_{n \to + \infty} \frac {(\ln(n + 2)) '}{n'} = $$ $$ = \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1}{n + 2}}{1} = 0 $$
Підставляємо результат в (1) $$ e^{\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n}\ln(n + 2)} = e^0 = 1 $$
Відповідь: \( \lim_ {n \to + \infty} \sqrt[n]{n + 2} = 1 \)
