Знайти границю функції: $$ \lim_{x \to \infty} (\frac{x + 3}{x-2})^x $$
Розв'язання :
Знайдемо границю $$ \lim_ {x \to \infty} ( \frac{x + 3}{x-2})^x = \lim_ {x \to \infty}( \frac{x}{ x} \frac{1+ \frac{3}{x}} {1 \frac{2}{x}})^x = $$$$ \lim_{x \to \infty} ( \frac{1+ \frac{3}{x}} {1 - \frac{2}{x}})^x = (\frac{1 + 0}{1-0})^{\infty} = 1^{ \infty} $$ отримали невизначеність виду \( 1^{ \infty} \). Дану невизначеність можна розкрити застосовуючи метод приведення до форми другої визначної границі.
Метод приведення до форми другої визначної границі
Запишемо другу визначну границю $$ \lim_ {x \to \infty} (1+ \frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $$
Проведемо перетворення :
виділимо цілу частину дробу $$ \lim_{x \to \infty}( \frac{x + 3}{x-2})^x = \lim_{x \to \infty}( \frac {x-2 + 5}{x-2})^x = $$$$ \lim_ {x \to \infty}(1+ \frac{5}{x-2})^x \quad (1) $$ Отримали \( \frac{1}{f(x)} = \frac{5}{x-2} \), тепер в ступені ми повинні отримати функцію \(f(x) = \frac{x-2}{5} \), ступінь \(x \) наведемо до цього виду $$ x = 5 \frac{x-2 +2}{5} = 5 \frac{x-2}{5} + 2 $$ Підставляємо в (1) $$ = \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{5}{x-2})^{5 \frac{x-2}{5} + 2} = $$ скористаємося властивістю складання ступенів \(a ^ {n + m} = a^m * a^n \) $$ = \lim_ {x \to \infty}(1+ \frac{5}{x-2})^{5 \frac{x-2}{5}} * \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{5}{x-2})^2 = $$$$ = \lim_{x \to \infty}(1+ \frac{5}{x-2 })^{5 \frac{x-2}{5}} * (1- 0)^2 = $$ скористаємося властивістю множення ступенів \(a^{nm} = (a^m)^n \) $$ = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{5}{x-2})^{ \frac{x-2}{5}}]^5 = [ \lim_ {x \to \infty} (1+ \frac{5}{x-2})^{ \frac{x-2}{5}}]^5 $$ Отримали другу визначну границю \( \lim_{x \to \infty}(1+ \frac{5}{x-2})^{ \frac{x-2}{5}} = e \) тобто отримуємо $$ = [ \lim_{x \to \infty}(1+ \frac{5}{x-2})^{ \frac {x-2}{5}}]^5 = e^5 $$
Відповідь: \( \lim_{x \to \infty}( \frac{x + 3}{x-2})^x = e ^ 5 \)
