A(-2;1) B(5;2) C(0;-6) знайти: а)довжину сторони AB б) рівняння прямої AM яка паралельна стороні

а) длина стороны AB
Длину стороны AB будем искать по формуле расстояния между точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Подставляем координаты точек A(-2;1), B(5;2), получаем

$$|AB| = \sqrt{(5+2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{49+1}= 5 \sqrt{2}$$
Ответ: длина стороны AB равна $|AB| = 5 \sqrt{2}$

б) уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC
Найдем уравнение прямой BC и AC (понадобится далее).  Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1)$ Подставляем координаты вершин:

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(5;2) и C(0;-6)

$$BC \quad \frac{x-5}{0-5} = \frac{y-2}{-6-2} => y = \frac{8}{5}x - 6$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(-2;1) и C(0;-6) $$AC \quad \frac{x+2}{0+2} = \frac{y-1}{-6-1} => y =- \frac{7}{2}x - 6$$
Найдем уравнение прямой AM, которая параллельна BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых $$k_1=k_2 \quad (2)$$ Угловой коэффициент одной параллельной прямой известен $k_{BC} = \frac{8}{5} =>$ из формулы (2) получаем угловой коэффициент прямой AM $k_{AM} = \frac{8}{5}$. 
Найдем уравнение прямой AM, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении  $$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка A(-2;1), а заданное направление это угловой коэффициент $k_{AM} = \frac{8}{5}$, получим $$y - 1 = \frac{8}{5}(x + 2) => y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5}$$
Ответ: уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC $y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5}$

в) уравнение высоты BF
Найдем уравнение прямой BF, которая перпендикулярна AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых

$$k_1*k_2=-1 \quad (3)$$ Угловой коэффициент одной перпендикулярной прямой известен $k_{AC} = -\frac{7}{2} =>$ из формулы (3) получаем угловой коэффициент прямой BF $k_{BF} = \frac{2}{7}$. 
Найдем уравнение прямой BF, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении  $$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка B(5;2), а заданное направление это угловой коэффициент $k_{BF} = \frac{2}{7}$, получим $$y - 2 = \frac{2}{7}(x -5) => y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}$$
Ответ: уравнение высоты BF $y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}$
 

 

г) уравнение медианы AD

Для нахождения медианы AD есть координата одной точки A(-2;1), а координаты второй точки прямой D найдем как координаты середины отрезка $BC$, где B(5;2) C(0;-6) по формуле $M(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})$ => $D(\frac{5+0}{2};\frac{2-6}{2})$ => $D(\frac{5}{2}; -2)$
Находим уравнение прямой $AD$ по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A$ и $D$  уравнение (1)

$$\frac{x+2}{2,5+2}=\frac{y-1}{-2-1} => y =  -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$$
Ответ: уравнение медианы $y =  -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

д) внутренний угол треугольника при вершине С 
Известны уравнения прямых, проходящих через вершину C 
$BC \quad y = \frac{8}{5}x - 6$
$AC \quad y =- \frac{7}{2}x - 6$
Угол между прямыми будем искать по формуле

$$tg(x) = |\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}| \quad (4)$$ , где $k_1= \frac{8}{5}$, $k_2= -\frac{7}{2}$, подставляем в (4) $$tg(\angle C) = |\frac{-\frac{7}{2}-\frac{8}{5}}{1-\frac{7}{2}*\frac{8}{5}}| = \frac{51}{46} =>$$ $$\angle C \approx 48^0$$
Ответ: угол при вершине C $\angle C \approx 48^0$