а) длина стороны AB
Длину стороны AB будем искать по формуле расстояния между точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Подставляем координаты точек A(-2;1), B(5;2), получаем $$|AB| = \sqrt{(5+2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{49+1}= 5 \sqrt{2}$$
Ответ: длина стороны AB равна \(|AB| = 5 \sqrt{2}\)
б) уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC
Найдем уравнение прямой BC и AC (понадобится далее). Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(5;2) и C(0;-6)$$ BC \quad \frac{x-5}{0-5} = \frac{y-2}{-6-2} => y = \frac{8}{5}x - 6$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(-2;1) и C(0;-6)$$ AC \quad \frac{x+2}{0+2} = \frac{y-1}{-6-1} => y =- \frac{7}{2}x - 6$$
Найдем уравнение прямой AM, которая параллельна BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых $$k_1=k_2 \quad (2)$$ Угловой коэффициент одной параллельной прямой известен \(k_{BC} = \frac{8}{5} => \) из формулы (2) получаем угловой коэффициент прямой AM \(k_{AM} = \frac{8}{5}\).
Найдем уравнение прямой AM, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка A(-2;1), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_{AM} = \frac{8}{5}\), получим $$ y - 1 = \frac{8}{5}(x + 2) => y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5}$$
Ответ: уравнение прямой AM, которая параллельна стороне BC \(y = \frac{8}{5}x + \frac{21}{5} \)
в) уравнение высоты BF
Найдем уравнение прямой BF, которая перпендикулярна AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $$k_1*k_2=-1 \quad (3)$$ Угловой коэффициент одной перпендикулярной прямой известен \(k_{AC} = -\frac{7}{2} => \) из формулы (3) получаем угловой коэффициент прямой BF \(k_{BF} = \frac{2}{7}\).
Найдем уравнение прямой BF, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ заданная точка B(5;2), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_{BF} = \frac{2}{7}\), получим $$ y - 2 = \frac{2}{7}(x -5) => y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7}$$
Ответ: уравнение высоты BF \( y = \frac{2}{7}x + \frac{4}{7} \)