Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{x^2}{x-2} = \quad (1)$$ Получили \(f(x) = 2x-4\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x-4}\), преобразуем степень \(\frac{x^2}{x-2}\), выделим целую часть дроби, применим формулу разности квадратов
\(\frac{x^2}{x-2} = \frac{x^2-4+4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+4}{x-2} = \) \( = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = (x+2) + \frac{4}{x-2}\) подставляем (1) $$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^((x+2) + \frac{4}{x-2}) = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = $$$$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = (1)^{2+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \quad (2)$$ получим нужную степень \(\frac{4}{x-2} = \frac{8}{2x-4} = 8\frac{1}{2x-4}\) подставляем в (2) $$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{8\frac{1}{2x-4}} = \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 = $$ получили второй замечательный предел \(\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}}= e\), получаем $$ = \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 = e^8 $$
Ответ: \( \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{8} \)
