Знайти границю не використовуючи правило Лопіталя: $$\lim_{x \to 2}(2x-3)^{\frac{x^{2}}{x-2}}$$

Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел

$$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$\lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2}  =  \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{x^2}{x-2}  = \quad (1)$$ Получили $f(x) = 2x-4$, теперь в степени мы должны получить дробь вида $\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x-4}$, преобразуем степень $\frac{x^2}{x-2}$, выделим целую часть дроби, применим формулу разности квадратов 
$\frac{x^2}{x-2} = \frac{x^2-4+4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+4}{x-2} =$ $= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = (x+2) + \frac{4}{x-2}$  подставляем (1) $$= \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^((x+2) + \frac{4}{x-2})  = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} =$$ $$= \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = (1)^{2+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \quad (2)$$ получим нужную степень $\frac{4}{x-2} = \frac{8}{2x-4} = 8\frac{1}{2x-4}$ подставляем в (2) $$=  \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{8\frac{1}{2x-4}} = \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 =$$ получили второй замечательный предел $\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}}= e$, получаем $$= \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 = e^8$$
Ответ: $\lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{8}$