Найти предел: \( \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(4x)}{1- \cos(8x)}\)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(4x)}{1- \cos(8x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(4*0)}{1- \cos(8*0)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Применим формулу косинуса двойного угла \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1-2\sin^2(x)\), получаем $$\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(4x)}{1- \cos(8x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1- 1 + 2\sin^2(2x)}{1- 1 + 2\sin^2(4x)} = $$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{\sin^2(4x)} =$$ найдем предел $$ = \frac{\sin^2(2*0)}{\sin^2(4*0)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность, продолжаем преобразования, применим формулу синуса двойного угла \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), получаем $$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{4\sin^2(2x)\cos^2(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4\cos^2(2x)} = $$ в числителе и знаменателе сократили множитель \(\sin^2(2x)\), который при \(\lim_{x \to 0} \sin^2(2x)=0\). Это и есть тот множитель, который приводил к неопределенности при нахождении предела. Найдем предел $$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4\cos^2(2x)} = \frac{1}{4\cos^2(2*0)} = \frac{1}{4}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(4x)}{1- \cos(8x)} = \frac{1}{4}\)
