Решим дифференциальное уравнение: \(xy'=\sqrt{x^2-y^2}+y, y(1)=0\)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$xy'=\sqrt{x^2-y^2}+y = 0=>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения $$y'= \sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x + u = \sqrt{1-\frac{(ux)^2}{x^2}}+\frac{ux}{x} => u'x = \sqrt{1-u^2}$$ получили дифференциальное уравнение уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{du}{dx}x = \sqrt{1-u^2} => \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{dx}{x} $$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \int \frac{dx}{x} => \arcsin(u) = \ln(x) + \ln(C) =>$$ Примени обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ \sin(\arcsin(\frac{y}{x})) = \sin(\ln(xC)) => y = x\sin(\ln(xC)) $$
Найдем уравнение, удовлетворяющее начальному условию \( y(1)=0\)
Подставим значения в ответ и найдем константу \(C\) $$ y = x\sin(\ln(xC)) => 0 = 1*\sin(\ln(1*C)) => \ln(C) = 0 => C = 1$$ получили решение, удовлетворяющее начальному условию $$y = x\sin(\ln(x))$$
Ответ: \(y = x\sin(\ln(x)) \)
