Задание: найди предел: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = \frac{\ln(\infty)}{\infty}= \frac{\infty}{\infty}$$ получили неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\), которую мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))'}{(x^2)'} =$$ находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2} = 0$$
Ответ: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} =0\)
