Решение:
данную задачу можно решить двумя способами.
1. Способ. Составим уравнение кривой в канонической форме.
Проведем преобразования методом выделения полного квадрата:
$$x^2+y^2+14x+40=0 =>$$$$ x^2+2*7x+49-49+y^2+40=0 =>$$$$ (x+7)^2+y^2=9$$ Получили уравнение окружности с центром в точке (-7;0) и радиусом 3. Т.к. диаметр лежит на оси Ox, точки пересечения с осью будут с координатами (-10;0) и (-4;0). Применим свойство радиуса в точке касания - радиус перпендикулярен касательной, получаем, что касательные в точках касания перпендикулярны оси Ox. Уравнения касательных \(x=-10\), \(x=-4\). Угол между касательными равен 0.
Ответ: угол между касательными равен 0. Касательные параллельны.
2. Способ. Найдем уравнение касательной.
Чтобы найти угол между касательными к заданной кривой, найдем координаты точек касания. Точки касания, согласно условия, это точки пересечения кривой с осью Ox. Находим их при y = 0. $$x^2+14x+40=0 => x_1=-10;x_2=-4$$ Получили две точки касания. Найдем уравнения касательных, применим формулу уравнения касательной в точке $$y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
Значение \(f(x_0) = 0\) для обеих касательных, согласно условия.
Найдем первую производную \(f'(x)\) $$$(x^2+y^2+14x+40)'=0 => 2x+2yy'+14 = 0 =>$$$$ x+yy'+7 = 0 =>y' = -\frac{x+7}{y}$$
Получили дробь, в знаменателе которой y=0, т.е. угловой коэффициент \(k=\infty = tg \alpha => \alpha = 90^0\). Уравнения касательных \(x=-10\), \(x=-4\). Угол между касательными равен 0.
Ответ: угол между касательными равен 0. Касательные параллельны.
