Решение: найдем производную неявной функции \(y(x)\), заданную уравнением \(x^3 - xy + y + 7 = 0\).
1. Введем обозначение F(x;y) - функция двух переменных \(F(x;y) = x^3 - xy + y + 7 = 0 \).
2. Найдем частные производные функции двух переменных \(F(x;y)\) по x и y
$$F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = ( x^3 - xy + y + 7)'_x = $$ при этом считаем \(y = const \) $$ = 3x^2 - y$$
$$F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = ( x^3 - xy + y + 7 )'_y = $$ при этом считаем \(x = const \) $$ = - x + 1$$
3. Найдем производную неявно заданной функции по формуле $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y} = -\frac{ 3x^2 - y }{ 1- x} = \frac{ 3x^2 - y }{ x-1}$$
4. Найдем производную в точке M(-1;-3), подставляем
$$y' = \frac{ 3x^2 - y }{ x-1} = \frac{ 3(-1)^2 - (-3) }{ (-1)-1} = -3$$
Ответ: производная функции заданной неявно \(x^3 - xy + y + 7 = 0\) равна \(\frac{dy}{dx} = \frac{ 3x^2 - y }{ x-1}\), значение производной в точке равно \(y' = -3\)
