Решение: разложим функцию в ряд Маклорена $$f(x) = f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+ \frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac{f'''(0)}{3!}x^3+...++ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+... \quad (1)$$
Преобразуем функцию для упрощения расчетов:
$$f(x) = \sqrt{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}} = (2-x^2)^{\frac{3}{4}}$$
1. Найдем значение функции
$$f(0) = (2-0^2)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} $$
2. Найдем первую производную и ее значение в точке \(f'(0)\)
$$f'(x) = ((2-x^2)^{\frac{3}{4}})' = \frac{3}{4}(2-x^2)^{\frac{3}{4}-1}(2-x^2)'= -\frac{3}{2}x(2-x^2)^{-\frac{1}{4}} = $$$$ = -\frac{3x}{2\sqrt[4]{2-x^2}}$$
Найдем значение первой производной в точке
$$f'(0) = -\frac{3*0}{2\sqrt[4]{2-0^2}} = 0$$
3. Найдем вторую производную и ее значение в точке \(f''(0)\)
$$f''(x) = (-\frac{3}{2}x(2-x^2)^{-\frac{1}{4}})'' = -\frac{3}{2}(2-x^2)^{-\frac{1}{4}} +\frac{3}{2}x\frac{1}{4}(2-x^2)^{-\frac{1}{4}-1}(2-x^2)' =$$$$ = -\frac{3}{2}(2-x^2)^{-\frac{1}{4}} - \frac{3}{8}x(2-x^2)^{-\frac{1}{4}-1}2x = -\frac{3}{2}(2-x^2)^{-\frac{1}{4}}[1+ \frac{1}{2}x^2(2-x^2)^{-1}] = $$$$ =-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt[4]{2-x^2}}\frac{4-2x^2+x^2}{2(2-x^2)} =\frac{3}{4}\frac{x^2-4}{(2-x^2)^{\frac{5}{4}}}$$
Найдем значение второй производной в точке
\(f''(0) = \frac{3}{4}\frac{0^2-4}{(2-0^2)^{\frac{5}{4}}}= -\frac{3}{2\sqrt[4]{2}}\)
Далее можно искать производные высших порядков по указанной схеме. Подставляем результат в (1)
$$(2-x^2)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} - \frac{\frac{3}{2\sqrt[4]{2}}}{2!}x^2 + ... =>$$
$$(2-x^2)^{\frac{3}{4}} =2^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{4\sqrt[4]{2}}x^2 + ... $$
Ответ: разложение функции в ряд Маклорена $$\sqrt{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}} = 2^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{4\sqrt[4]{2}}x^2 + ... $$
