Исследуем функцию \( \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( 2x^2 \ne 0 => x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} ( \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2}) = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^4}{4}- \frac{1}{2(-x)^2} = \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2}\) функция является четной, т.е. симметричной относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} = 0 => \frac{x^6-2}{4x^2} = 0 => x_1 = - 2^\frac{1}{6} \approx -1.12; \quad x_2 = 2^\frac{1}{6} \approx 1.12 \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами \((-2^\frac{1}{6};0)\) и \((2^\frac{1}{6};0).\)
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = 2^\frac{1}{6}\) , т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; 2^\frac{1}{6})\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2^\frac{1}{6}; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: точек пересечения с осью \(Oy\) - нет, т.к. точка x=0 не попадает в ОДЗ функции
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} )' = x^3 + \frac{2x}{2x^4} = x^3 + \frac{1}{x^3} $$ приравняем к 0 $$x^3 + \frac{1}{x^3} = 0 => x^6+1 = 0$$ функция не имеет критических (стационарных) точек.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек на рассматриваемом интервале ОДЗ \((0; +\infty)\), т.е. она не меняет монотонности на этом интервале
интервал \(( 0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = x^3 + \frac{1}{x^3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции. Функция не имеет критических точек (точек возможного экстремума), т.е. нет и экстремумов
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (x^3 + \frac{1}{x^3} )'= 3x^2 - \frac{3x^2}{x^6} = 3x^2 - \frac{3}{x^4} $$Приравняем к нулю $$ 3x^2 - \frac{3}{x^4} = 0 => x^6 - 1 = 0 => x_1 =-1; x_2=1$$ Функция имеет две точки перегиба. На рассматриваемом интервале \((0;\infty)\) лежит только одна точка x=1, получили два интервала выпуклости, рассмотрим их:
интервал \((0; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.5) = 3x^2 - \frac{3}{x^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((1; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 3x^2 - \frac{3}{x^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет две точки перегиба, одна из которых лежит на рассматриваемом интервале \((0;\infty)\) это x=1. Найдем значение функции в этой точке \( f(1) = \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} = -\frac{1}{4}\). Координаты точки перегиба \((1;-\frac{1}{4})\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет одну вертикальную асимптоту x =0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^4} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$, т.к. \(k = \infty\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x^4}{4}- \frac{1}{2x^2}= \infty$$ Горизонтальной асимптоты нет
9. График функции.
При построении графика учтем его четность, т.е. симметричность относительно оси \(Oy\)
