Решение:
Дискретная случайная величина принимает следующие значения : \(X \in \{0;1;2;3\}\) - количество попаданий при трех выстрелах. Обозначим за \(p\) - попадание в цель при одном выстреле, а \(q\) - промах.
Найдем вероятности для каждой случайной величины. Вероятность будем находить по формуле произведения.
\(0\) попаданий (три промаха )
\(\{000\}\) \(P(0) = q*q*q = q^3\)
\(1\) попадания, возможны три комбинации
\(\{001;010;100\}\) \(P(1) = p(001) + p(010) + p(100) = qqp+qpq+pqq = 3pq^2 = 3p(1-p)^2\)
\(2\) попадания, возможны три комбинации
\(\{011;101;110\}\) \(P(2) = p(011) + p(101) + p(110) = qpp+pqp+ppq = 3p^q = 3p^2(1-p)\)
\(3\) попадания
\(\{111\}\) \(p(3) = P(111) = ppp = p^3\)
Составляем таблицу закона распределения случайной величины \(X\) $$\left|\begin{array}{c|c}X & 0& 1 & 2 & 3 \\ \hline P & (1-p)^3& 3p(1-p)^2 & 3p^2(1-p) & p^3\end{array}\right|$$
Найдем вероятность \(p\). Согласно условия задачи, математическое ожидание дискретной случайной величины \(X\) равно \(M(X) = 2\), Математическое ожидание рассчитывается по формуле $$M(X) = x_1p_1+x_2+p_2+ ... + x_np_n= \sum_{k=1}^nx_kp_k$$ Подставляем данные в формулу $$0*q^3+1*3p(1-p)^2+2*3p^2(1-p)+3*p^3 = 2 =>$$$$ 3p((1-p)^2+2p(1-p)+p^2) = 2 => $$$$ 3p(1-2p+p^2+2p-2p^2+p^2) = 2 => $$$$ 3p = 2 => p = \frac{2}{3}$$
1. Построим закон распределения дискретной случайной величины \(X\).
Подставим значение \(p = \frac{2}{3}\) в таблицу $$\left|\begin{array}{c|c}X & 0& 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{1}{27}& \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8}{27}\end{array}\right|$$ Проверяем, является ли полученная таблица законом распределения. Для закона распределения истинное равенство \(\sum_{k=1}^np_k=1\), проверяем \(\frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{12}{27} +\frac{8}{27} = 1 \) получили закон распределения дискретной случайной величины \(X\).
2. Построим функцию распределения для случайной величины \(X\)
Для построения функции распределения дискретной случайной величины воспользуемся формулой $$F(x) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k)$$
1. при \(x \leq 0 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) = 0\)
2. при \(0 < x \leq 1 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) = 0 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27}\)
3. при \(1 < x \leq 2 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=1) = 0 + \frac{1}{27}+ \frac{6}{27} = \frac{7}{27}\)
4. при \(2 < x \leq 3 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + \frac{1}{27}+ \frac{6}{27}+ \frac{12}{27} = \frac{19}{27}\)
5. при \( x > 3 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=1) + P(X=2) + + P(X=2) = 0 + \frac{1}{27}+ \frac{6}{27}+ \frac{12}{27} +\frac{8}{27}= 1\)
Получили функцию распределения $$F(X) = \begin{cases}0 & при & x \leq 0\\ \frac{1}{27} & при & 0 < x \leq 1 \\ \frac{7}{27} & при & 1 < x \leq 2 \\ \frac{19}{27} & при & 2 < x \leq 3 \\ 1 & при & x > 3 \end{cases} $$
