Задание: найти предел: $$ \lim_{x \to 1}\frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$$
Решение:
Найдем предел $$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} = \frac{1^2 - \sqrt{1}}{\sqrt{1}-1} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
1. Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которой мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 1}\frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x^2 - \sqrt{x})'}{(\sqrt{x}-1)'} = $$$$ = \lim_{x \to 1}\frac{2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{2*1 - \frac{1}{2\sqrt{1}}}{\frac{1}{2\sqrt{1}}} = 4-1=3$$
Ответ: \(\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}= 3\)
