Найдите угол, который образуют векторы p и q.

Решение:
1. введем обозначения $\vec{p}(x_p;y_p)$, $\vec{q}(x_q;y_q)$
2. найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ 
применим:
формулу суммы векторов в координатной форме $\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}(x_a+x_b;y_a+y_b)$ 
формулу разности векторов в координатной форме $\vec{a}-\vec{b} = \vec{c}(x_a-x_b;y_a-y_b)$ 
формулу произведения вектора на число в координатной форме $\lambda \vec{a} = \vec{c}(\lambda x_a;\lambda y_a)$
Найдем координаты векторов

$$\vec{a}(2p+q) =>\vec{a}(2x_p+x_q; 2y_p+y_q)$$   $$\vec{b}(p-3q) =>\vec{b}(x_p-3x_q; y_p-3y_q)$$  
Воспользуемся перпендикулярностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство $\vec{a}\vec{b} = 0$ 

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет следующий вид на плоскости

$$x_a*x_b+y_a*y_b = 0$$

Подставляем координаты векторов

$$\vec{a}\vec{b} = x_a*x_b+y_a*y_b = 0 =>$$ $$(2x_p+x_q)(x_p-3x)+(2y_p+y_q)(y_p-3y_q) = 0 =>$$ $$2x_p^2-5x_px_p -3x_q^2 + 2y_p^2 - 5y_py_q - 3y_q^2 = 0 \quad (1)$$ упростим полученное уравнение. Согласно условия задачи $|p| = 3 => \sqrt{x_p^2+y_p^2} = 3 => x_p^2+y_p^2 =9$, $|q| = 2 => \sqrt{x_q^2+y_q^2} = 2 => x_q^2+y_q^2 =4$. Подставим эти уравнения в (1)
$$2(x_p^2+ y_p^2)-5x_px_p -3(x_q^2+y_q^2) - 5y_py_q  = 0 => 18 - 5x_px_p - 5y_py_q - 12 = 0 =>$$ $$x_px_p + y_py_q = \frac{6}{5} \quad (2)$$  
Формула вычисления угла между векторами $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{p}\vec{q}}{|p||q|} = \frac{x_px_q+y_py_q}{|p||q|}$$ подставляем уравнение (2) и значения модулей векторов, получаем $$\cos(\alpha) = \frac{x_px_q+y_py_q}{|p||q|} = \frac{\frac{6}{5}}{3*2} = \frac{1}{5} =>$$ $$\alpha = \arccos(\frac{1}{5})$$
Ответ: угол между векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равен $\alpha = \arccos(\frac{1}{5})$