Решение: для решения задачи составим систему уравнения.
1. Определим количество неизвестных.
Вектор \(\vec{x}\) лежит в плоскости \(XZ\), т.е координата \(y=0\). Получили координаты вектора \(\vec{x}(x,0,z)\). Нам нужно найти две координаты и составить систему уравнений из двух неизвестных.
2. Составляем систему уравнений.
Первое уравнение для системы уравнений можно получить из условия \(|\vec{x}| = 2\). По определению модуль вектора находится по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2_a+y^2_a+z^2_a}\), подставляем в условие \(|\vec{x}| = 2 => \sqrt{x^2+0^2+z^2} = 2 => x^2+z^2 =4\)
Второе уравнение получим из условия, а именно - вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{a}\) - перпендикулярны, при этом из условия задачи следует, что вектор \(\vec{a}\) имеет следующие координаты \(\vec{a}(1,1,-2)\).
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
Для перпендикулярности двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство \(\vec{a}\vec{b} = 0\)
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет следующий вид в трехмерном пространстве \(x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b = 0\).
Подставляем известные координаты и получим второе уравнение для системы уравнений $$\vec{a}\vec{x} = 1*x+1*y+(-2)z = 0 => x-2z =0$$
Получили систему уравнений $$\begin{cases}x^2+z^2 =4 \\x-2z =0 \end{cases}=>\begin{cases}4z^2+z^2 =4 \\x=2z \end{cases}=> $$$$ \begin{cases} z_1 = -\sqrt{ \frac{4}{5}}, \quad z_2 = \sqrt{ \frac{4}{5}} \\x_1 =- 2\sqrt{ \frac{4}{5}}, \quad x_2 =2\sqrt{ \frac{4}{5}} \end{cases}$$
Получили координаты двух векторов, удовлетворяющих условию задачи
Ответ: \(\vec{x_1}(- 2\sqrt{ \frac{4}{5}},0, -\sqrt{ \frac{4}{5}})\) и \(\vec{x_2}( 2\sqrt{ \frac{4}{5}},0, \sqrt{ \frac{4}{5}})\)
