Решим систему уравнений $$\begin{cases}x_1 -3x_2+4x_3 = 1\\3x_1+5x_2+6x_3=-9 \\ 2x_1- x_2+4x_3=-6 \end{cases}$$
Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -9 \\ -6 \end{array}\right.\right) \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса.
Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -9 \\ -6\end{array}\right.\right) \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(3\)
\((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 14 & -6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -12 \\ -6\end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычтем первую, умноженную на \(2\), получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 14 & -6\\ 0 & 5 & -4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -12 \\ -8\end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{32} = 5 \ne 0\). Для упрощения расчетов приведем это элемент к \(a_{32}=1\). Можно вынести 5 из строки, но получим дробные числа. Чтобы не было дробных чисел проведем следующие действия:
Из второй строки вычтем третью строку, умноженную на \(3\)
\(\left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 5 & -4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 12 \\ -8\end{array}\right.\right) \sim \)
Сложим третью строку и вторую строку, умноженную на \(5\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 0 & 26 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 12 \\ 52\end{array}\right.\right) \sim \)
Разделим третью строку на 26 \( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 12 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Умножим вторую строку на -1 \( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 1 & -6\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -12 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
К второй строке прибавляем третью строку, умноженную на \(6\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Вычтем из первой строки третью, умноженную на \(4\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -7 \\ 0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Сложим первую строку и вторую, умноженную на 3
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -7 \\ 0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Ответ: решение системы уравнений единственное и равно \( \begin{cases} x_1 = -7 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = 2 \end{cases} \)