Решить систему линейных уравнений методами: · Обратной матрицы, · Крамера, · Гаусса.

Решим систему уравнений $$\begin{cases}x_1 -3x_2+4x_3 = 1\\3x_1+5x_2+6x_3=-9 \\ 2x_1- x_2+4x_3=-6 \end{cases}$$
Применим правило Крамера.
1.Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных \(x_i\). При этом, если какого-то из неизвестных в уравнении не хватает, то на его место в соответствующем столбике ставим 0. Получили $$A =\left(\begin{array}{c}1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)$$ Найдем определитель матрица \(A\), обозначается как \(Δ\). Если определитель \(Δ = det A \ne 0\) , то система имеет единственное решение, которое находится по формуле $$x_i = \frac{Δ_i}{Δ}$$ где \(i = 1,2, ... n\) , а \(Δ_i\) - определитель матрицы, полученный из матрицы системы путем замены \(i\) - го столбца столбцом свободных членов.

Находим определитель матрицы по правилу треугольника $$Δ = \det A =\left|\begin{array}{c}1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4\end{array}\right| = 1*5*4+(-3)6*2+3(-1)4 - 2*5*4 - (-1)6*1-3(-3)4 = -26$$ Определитель \(Δ = -26 \ne 0\), т.е. система имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
2. Подставим вместо первого столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -26\), получаем $$x_1 = -\frac{1}{26} *\left|\begin{array}{c}  1& -3 & 4 \\ -9 & 5 & 6\\ -6 & -1 & 4\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_1 = -\frac{1}{26}(1*5*4+(-3)6(-6) +(-9)(-1)4 - (-6)5*4 - (-1)1*6 - (-9)(-3)4) = -\frac{182}{26} = -7$$

3. Подставим вместо второго столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -26\), получаем $$x_2 = -\frac{1}{26} *\left|\begin{array}{c}1& 1 & 4 \\ 3 & -9 & 6\\ 2 & -6 & 4\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_2 = -\frac{1}{26} (1*(-9)*4+3*4(-6) +1*2*6 - (-9)2*4 - (-6)1*6 - 1*3*4) = -\frac{-0}{26} = 0$$

4. Подставим вместо третьего столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -26\), получаем $$x_3 = -\frac{1}{26} *\left|\begin{array}{c}1& -3 & 1 \\ 3 & 5 & -9\\ 2 & -1 & -6\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_3 = -\frac{1}{26} (1*5*(-6)+(-3)2(-9) +3(-1)1 - 2*5*1 - (-1)(-9)1 - (-6)(-3)3) = -\frac{-52}{26} = 2$$ Получили три решения системы уравнений
Ответ: \(\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2= 0 \\x_3 =2 \end{cases} \)

Решим систему уравнений $$\begin{cases}x_1 -3x_2+4x_3 = 1\\3x_1+5x_2+6x_3=-9 \\ 2x_1- x_2+4x_3=-6 \end{cases}$$ 
Методом Гаусса

1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  -9 \\ -6 \end{array}\right.\right) \)

Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду, 
для этого используем метод Гаусса. 
Прямой ход метода Гаусса.
Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 3 & 5 & 6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  -9 \\ -6\end{array}\right.\right) \)

Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(3\) 
\((A|b) =  \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 14 & -6\\ 2 & -1 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  -12 \\ -6\end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычтем первую,  умноженную на \(2\), получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 14 & -6\\ 0 & 5 & -4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  -12 \\ -8\end{array}\right.\right)  \sim \)

Берем в качестве ведущего элемента \(a_{32} = 5 \ne 0\). Для упрощения расчетов приведем это элемент к \(a_{32}=1\). Можно вынести 5 из строки, но получим дробные числа. Чтобы не было дробных чисел проведем следующие действия:
Из второй строки вычтем третью строку, умноженную на \(3\) 
\(\left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 5 & -4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  12 \\ -8\end{array}\right.\right) \sim \)
Сложим третью строку и вторую строку, умноженную на \(5\) 
\( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 0 & 26 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  12 \\ 52\end{array}\right.\right)  \sim \)
Разделим третью строку на 26 \( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & -1 & 6\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  12 \\ 2\end{array}\right.\right)  \sim \)
Умножим вторую строку на -1  \( \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 1 & -6\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  -12 \\ 2\end{array}\right.\right)  \sim \)

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.

3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система  совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:

4. Обратный ход метода Гаусса. 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
К второй строке прибавляем третью строку, умноженную на \(6\)
\(  \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 4 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  1 \\  0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Вычтем из первой строки третью, умноженную на \(4\)
\(  \left(\begin{array}{c} 1& -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -7 \\  0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Сложим первую строку и вторую, умноженную на 3
\(  \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -7 \\  0 \\ 2\end{array}\right.\right) \sim \)
Ответ: решение системы уравнений единственное и равно  \( \begin{cases} x_1 = -7 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = 2 \end{cases} \)