Найдем предел: $$ \lim_{x \to \infty}(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1}$$
Решение:
Найдем предел $$\lim_{x \to \infty}(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1} = \lim_{x \to \infty}(\frac{1+\frac{1}{5x}}{1-\frac{1}{5x}})^{x-1} = 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела . Рассмотрим оба метода:
1. Правило Лопиталя:
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to \infty}(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1} = e^{\lim_{x \to \infty}\ln(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1}} = $$$$ = e^{\lim_{x \to \infty}(x-1)\ln\frac{5x+1}{5x-1}} = \quad (1)$$ Найдем отдельно предел $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3) = \frac{0}{0} $$ Применим правило Лопиталя.
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Предварительно упростим $$ \lim_{x \to \infty}(x-1)\ln\frac{5x+1}{5x-1} = \lim_{x \to \infty}x\ln\frac{5x+1}{5x-1} - \lim_{x \to \infty}\ln\frac{5x+1}{5x-1}$$$$ = \lim_{x \to \infty}x\ln\frac{5x+1}{5x-1} - 0= \infty *0$$ Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) и \(\frac{\infty}{\infty}\), поэтому произведение представим в виде дроби$$ = \lim_{x \to \infty}\frac{\ln\frac{5x+1}{5x-1}}{\frac{1}{x}} = \frac{0}{0}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to \infty}\frac{\ln\frac{5x+1}{5x-1}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{(\ln\frac{5x+1}{5x-1})'}{(\frac{1}{x})'} = $$$$ = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{5x-1}{5x+1}\frac{5(5x-1)- 5(5x+1)}{(5x-1)^2} }{-\frac{1}{x^2}} = $$$$ =-\lim_{x \to \infty}\frac{1}{5x+1}\frac{10}{5x-1}x^2 = \frac{10}{25}= \frac{2}{5}$$Подставляем ответ в (1) $$ = e^{\lim_{x \to \infty}(x-1)\ln\frac{5x+1}{5x-1}} = e^{\frac{2}{5}}$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty}(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1}= e^{\frac{2}{5}} \)
2. Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{x \to \infty}(\frac{5x-1+2}{5x-1})^{x-1} = \lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{x-1} \quad (2)$$ Получили \(f(x) = \frac{2}{5x-1}\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{5x-1}{2}\), степень \(x-1\) приведем к этому виду $$x-1 = \frac{5x}{2}*\frac{2}{5}-1 = \frac{5x-1+1}{2}*\frac{2}{5}-1 =$$$$= \frac{5x-1}{2}*\frac{2}{5}+\frac{1}{2}*\frac{2}{5}-1 = \frac{5x-1}{2}*\frac{2}{5}-\frac{4}{5} $$ Подставляем в (2) $$ = \lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{ \frac{5x-1}{2}*\frac{2}{5}-\frac{4}{5}} =$$$$ = \lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{ \frac{5x-1}{2}*\frac{2}{5}}*\lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{-\frac{4}{5}} = \lim_{x \to \infty}[(1 +\frac{2}{5x-1})^{ \frac{5x-1}{2}}]^{\frac{2}{5}}*1 = $$Получили второй замечательный предел \( \lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{ \frac{5x-1}{2}} = e \), а предел \(\lim_{x \to \infty}(1 +\frac{2}{5x-1})^{-\frac{4}{5}} =1\) т.е. получаем $$ = \lim_{x \to \infty}[(1 +\frac{2}{5x-1})^{ \frac{5x-1}{2}}]^{\frac{2}{5}} = e^{\frac{2}{5} }$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty}(\frac{5x+1}{5x-1})^{x-1}= e^{\frac{2}{5}} \)
