Найдем производную функции: \( y = x^{\arcsin(x)} \)
Решение: найдем производную методом логарифмирования, т.е. воспользуемся формулой основного логарифмического тождества \( a^{ \log_ax} = x\), получаем $$ y = x^{\arcsin(x)} = e^{ \ln( x^{\arcsin(x)}} = e^{ \arcsin(x) \ln(x)}$$Теперь воспользуемся формулой производной показательной функции \( (a^x)' = a^x*\ln a \) и производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\), получаем $$ y' = ( x^{\arcsin(x)})' = ( e^{ \arcsin(x) \ln(x)})' = $$$$ = e^{ \arcsin(x) \ln(x)} *( \arcsin(x) \ln(x) )' = x^{\arcsin(x)} * ( \arcsin(x) \ln(x) )' = \quad (1) $$Для нахождения производной, воспользуемся формулой производной произведения \(f(x)g(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) $$ ( \arcsin(x) \ln(x))' = ( \arcsin(x))' \ln( x)+ \arcsin(x) (\ln(x))' = $$ применим формулу производной арксинуса \( \arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}}\) и производную логарифма \( ( \ln(x))' = \frac{1}{x}\)$$ = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2}} \ln( x)+ \arcsin(x) \frac{1}{x} $$ Подставляем в (1), получаем $$ (1) = x^{\arcsin(x)} * ( \arcsin(x) \ln(x) )' = x^{\arcsin(x)} *( \frac{ \ln( x)}{ \sqrt{1 - x^2}}+ \frac{ \arcsin(x)}{x} )$$
Ответ: \( ( x^{\arcsin(x)})' = x^{\arcsin(x)} *( \frac{ \ln( x)}{ \sqrt{1 - x^2}}+ \frac{ \arcsin(x)}{x} )\)
