Найдем производную функции: \(у = \sqrt{x+\sqrt[3]{x}}\)
Решение:
Применим формулу производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\)
применим формулу производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\), получаем
$$( \sqrt{x+\sqrt[3]{x}})' = ((x+(x)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}})' = $$$$ = \frac{1}{2}(x+(x)^{ \frac{1}{3}})^{ \frac{1}{2}-1}*(x+(x)^{ \frac{1}{3}})' = \frac{1}{2(x+(x)^{ \frac{1}{3}})^{ \frac{1}{2}}}*(1+\frac{1}{3}(x)^{ \frac{1}{3}-1}) = $$$$ = \frac{3x^{\frac{2}{3}}+1}{6(x+(x)^{ \frac{1}{3}})^{ \frac{1}{2}}*x^{ \frac{2}{3}}}= \frac{3\sqrt[3]{x^2}+1}{6\sqrt{x+\sqrt[3]{x}}*\sqrt[3]{x^2}} $$
Ответ: \((\sqrt{x+\sqrt[3]{x}})' = \frac{3\sqrt[3]{x^2}+1}{6\sqrt{x+\sqrt[3]{x}}*\sqrt[3]{x^2}}\)
