Решение: найдем производную сложной функции \(y=\ln tg(2x+1)\).
Найдем производную сложной функции \((\ln tg(2x+1))'\) по формуле производной сложной функции $$(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x) \quad (1)$$
Внешней функцией является логарифмическая функция \(\ln(x)\), согласно таблицы простейших производных, производная логарифмической функции равна \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\)
Внутренней функцией является тригонометрическая функция \(tg(x)\). Согласно таблицы простейших производных, производная тригонометрической функции тангенс равна \((tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}\).
Внутренней функцией является линейная функция \(2x+1\). Согласно таблицы простейших производных, производная линейной функции равна \((2x+1)' = 2\).
Подставляем результаты в (1), получаем $$(\ln tg(2x+1))' = \frac{1}{tg(2x+1)}*\frac{1}{\cos^2(2x+1)}*2 =$$$$ = 2\frac{\cos(2x+1)}{\sin(2x+1)}*\frac{1}{\cos^2(2x+1)} = 2\frac{1}{\sin(2x+1)}*\frac{1}{\cos(2x+1)} = $$$$ = 4\frac{1}{\sin(4x+2)} = 4*cosec(4x+2)$$
Ответ: производная равна \((\ln tg(2x+1))' = 4*cosec(4x+2)\)
