Вычислить тройной интеграл $\int\int_V\int(x+z)dxdydz$, где область V=

Решение: Вычислим интеграл

$$\int\int_V\int(x+z)dxdydz$$ где область интегрирования V - четырехугольная пирамида (см. рис. 1), ограниченная плоскостями $$\begin{cases}x+y = 1\\x-y =1\\x+z =1\\z=0\\x=0\end{cases}$$ Нарисуем эту область
$x+y = 1$ - плоскость, параллельная оси Oz, пересекается с плоскостью XY по прямой $x+y = 1$ и пересекает оси $(0;1), (1;0)$
$x-y = 1$ - плоскость, параллельная оси Oz, пересекается с плоскостью XY по прямой $x-y = 1$ и пересекает оси $(0;-1), (1;0)$
$x+z = 1$ - плоскость, параллельная оси Oy, пересекается с плоскостью XZ по прямой $x+z = 1$ и пересекает оси $(0;1), (1;0)$
$z = 0$ - плоскость XY
$x = 0$ - плоскость YZ

Для нахождения тройного интеграла воспользуемся следующей формулой:
Если область интегрирования $V$ определяется неравенства $x_1 \leq x \leq x_2$, $y_1(x) \leq y(x) \leq y_2(x)$, $z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)$, где $y_1(x), y_2(x), z_1(x,y), z_2(x,y)$ - непрерывные функции своих аргументов, то тройной интеграл вычисляется по формуле

$$\int\int_{V}\int f(x,y,z)dxdydz = \int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$ область $V$ ограничена сверху плоскостью $z = z_2(x,y)$, снизу - поверхностью $z = z_1(x,y)$, а с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости Oxy $S_{xy}$, определенную неравенствами $x_1 \leq x \leq x_2$, $y_1(x) \leq y \leq y_2(x)$. Обращаю внимание, что порядок интегрирования может быть любым.

 Алгоритм вычисления тройного интеграла:
1. Расставим пределы интегрирования.
Рассмотрим плоскость XY (см. рис. 2). На этой плоскости вырезается фигура (зеленый треугольник), определяемая неравенствами:
по переменной $x$  $0 \leq x \leq 1$,
по переменной $y$ определяем по стрелке на рисунке, получаем  $x-1 \leq y \leq  1 - x$.

Рассмотрим переменную $z$. Область снизу ограничена плоскостью $z=0$, а сверху плоскостью $x+z=1 => z = 1-x$, получаем $0 \leq z \leq 1-x$.

2. Вычисляем тройной интеграл при известных границах

$$\int\int_V\int(x+z)dxdydz = \int_0^1dx\int_{x-1}^{1-x}dy\int_0^{1-x}(x+z)dz = \quad (2)$$
вычисляем интеграл  $\int_0^{1-x}(x+z)dz =$  где $z$ - переменная интегрирования, а $x$ - постоянная, получаем $\int_0^{1-x}(x+z)dz = xz + \frac{1}{2}z^2 |_0^{1-x} =$ $= x(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^2 = \frac{1}{2}(1-x)(1+x) = \frac{1}{2}(1-x^2)$ подставляем в (2) $$= \int_0^1dx\int_{x-1}^{1-x}\frac{1}{2}(1-x^2)dy = \frac{1}{2} \int_0^1dx\int_{x-1}^{1-x}(1-x^2)dy = \quad (3)$$
вычисляем интеграл  $\int_{x-1}^{1-x}(1-x^2)dy =$  где $y$ - переменная интегрирования, а $x$ - постоянная, получаем $= (1-x^2) \int_{x-1}^{1-x}dy  = (1-x^2)y|_{x-1}^{1-x} =$ $(1-x^2)(1-x -x+1) = 2(1-x^2)(1-x)$ подставляем в (3) $$=\frac{1}{2} \int_0^122(1-x^2)(1-x)  dx = \int_0^1(1-x^2-x+x^3)dx =$$ $$= x- \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^4|_0^1 = 1- \frac{1}{3} - \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{5}{12}$$
Ответ:  тройной интеграл равен $V = \frac{5}{12}$