Решение: исследуем ряд на сходимость - это означает, что будем искать область сходимости, состоящую из интервала сходимости и, возможно, границ интервала сходимости, если ряд в этих точках сходится .
Алгоритм исследования на сходимость степенного ряда:
1. составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда, применим один из признаков сходимости числовых рядов, найдем интеграл сходимости:
ряд из абсолютных величин членов заданного ряда $$\sum_{n=3}^\infty|\frac{n^2-4}{4^n}(x-4)^{n}| = |\frac{5}{4^3}(x-4)^{3}| + |\frac{12}{4^4}(x-4)^{4}|+ ... +$$
применим к ряду признак Даламбера в граничной форме: если при \(n \to \infty\) существует предел отношения следующего члена ряда к предыдущему $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$ то при \(l < 1\) сходится, при \(l > 1\) расходится, при \(l = 1\) требуются дополнительные исследования.
Применяем признак Даламбера $$l = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}(x-4)^{n+1}}{\frac{n^2-4}{4^n}(x-4)^{n}}|= $$$$ =\lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}(x-4)\frac{4^n}{n^2-4}|= $$$$= |x-4|\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2-4}{4}\frac{1}{n^2-4}= \frac{1}{4}|x-4| $$ Ряд сходится, если \(l = \frac{1}{4}|x-4| < 1\), т.е. $$\frac{1}{4}|x-4| < 1 => |x-4| < 4$$$$-4 < x-4 < 4 => 0< x < 8$$ Получили интервал сходимости \((0;8)\)
2. найдем радиус сходимости. интервал сходимости симметричен относительно точки \(x_0=4\), тогда радиус сходимости равен \(R=4\) (расстояние от центра до левой и правей границы интервала \((x_0-R;x_0+R)\))
3. исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.
левая граница \(x=0\), получаем числовой ряд $$-5+12-21+32 + ... + (-1)^n(n^2-4)$$ Получили знакопеременный ряд.
Согласно теоремы Лейбница (признак сходимости): если член знакопеременного ряда \(u_1 - u_2 + ... + (-1)^{n+1}u_n+ ...\), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \(|u_n| > |n_{n+1}|\) и общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), то ряд сходится.
Находим предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty}(n^2-4) = \infty $$ ряд расходится, т.е. на левой границе \(x=0\) интервала сходимости заданный степенной ряд расходится.
правая граница \(x=8\), получаем числовой ряд $$5+12+21+32 + ... + (n^2-4)$$ Получили знакопостоянный ряд.
Необходимым условием сходимости ряда является: общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
Находим предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty}(n^2-4) = \infty $$ ряд расходится, т.е. на правой границе \(x=8\) интервала сходимости заданный степенной ряд расходится.
Таким образом область сходимости \((0;8)\) степенного ряда совпадает с интервалом сходимости степенного ряда.
