Задание: Исследуем ряд \(\sum_{n=1}^\to \frac{\frac{e-1}{\pi^3}-1}{n}\) на сходимость с помощь достаточных признаков сходимости.
Решение:
1. необходимое условие сходимости: если ряд \(u_1+bu_2 + ... + u_n + ...\) сходится, то предел его общего члена при \(n \to \infty\) равен нулю \(\lim_{n \to \infty}u_n = 0\)
Проверяем: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{e-1}{\pi^3}-1}{n} = 0$$ Выполнение необходимого условия сходимости ряда дает нам возможность утверждать, что ряд сходится. Для установления факта сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости ряда
2. достаточные признаки сходимости ряда.
Достаточных признаков много, применять их нужно в зависимости от задания, например признак Даламбера в граничной форме, в данном случае, на вопрос сходимости ответ не даст.
Применим граничную форму признака сравнения.
Определение: если для рядов с положительными членами \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) и \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\) существует конечный и отличный от нуля \( \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}=k \ne 0\), тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Если \(k=0\), то из сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\).
Для применения этого признака нужно иметь эталонный ряд с известным поведением, например геометрический ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\) сходится ,если \(0 < q < 1\) и расходится, если \(q \geq 1\).
Для сравнения с гармоническим рядом, вынесем константу числителя за скобки, получим $$ ( \frac{e-1}{\pi^3}-1) (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n})$$ В скобках получили \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) - гармонический ряд, который расходится,т.е. ряд \(\sum_{n=1}^\to \frac{\frac{e-1}{\pi^3}-1}{n}\) - расходится.
