Дано координати точок А.В і С та координати площини (a-альфа). знайти. 1)рівняння прямої (АВ)

Решение:

Даны три вершины треугольника А(2,0,-1), В(3,1,1), С(2,1,2), поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{z-z_1}{z_2-z_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:

уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(2,0,-1), В(3,1,1) $$ AB \quad \frac{x-2}{3-2} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z+1}{1+1}=>  \frac{x-2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2} $$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(\frac{x-2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}\)  

2) Уравнение плоскости ABC
 Составим уравнение плоскости, проходящую через три заданные точки А(2,0,-1), В(3,1,1), С(2,1,2) для этого применим формулу уравнения плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатный форме $$\left|\begin{array}{c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2 -z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3 -z_1 \end{array}\right| = 0$$ Подставляем координаты точек $$\left|\begin{array}{c} x-2 & y-0 & z+1\\ 3-2 & 1-0 & 1 +1\\ 2-2 & 1-0 & 2 +1 \end{array}\right| = 0 => 3(x-2) + z+1 - 2(x-2) - 3y=0 =>$$$$ x-2+ z+1- 3y=0 => x- 3y + z-11 =0$$
Ответ: уравнение плоскости \(ABC\): \(x- 3y + z-11 =0\)  
 

3) направляющие косинусы нормали к плоскости АВС.
Приведем уравнение площади \(x- 3y + z-11 =0\), где \(A=1;B=-3;C=1\), к нормальному виду $$x\cos(\alpha) + y\cos(\beta) + z\cos(\gamma) - \rho = 0 \quad (1)$$. Вычислим нормирующий множитель $$\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ Определимся со знаком \(\mu\). Знак \(\mu\) противоположен знаку члена D, т.к. D = -11 < 0, берем знак \(+\), получаем $$\mu =  \frac{1}{\sqrt{1^2+(-3)^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{11}}$$ Умножим обе части уравнения плоскости на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости: $$\frac{1}{\sqrt{11}}x- \frac{3}{\sqrt{11}}y + \frac{1}{\sqrt{11}}z-\frac{1}{\sqrt{11}}11 =0$$ Из формулы нормального уравнения плоскости (1) получаем направляющие косинусы нормали к плоскости $$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{11}}; \quad \cos(\beta) = - \frac{3}{\sqrt{11}}; \quad \cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{11}}$$
Ответ: направляющие косинусы нормали к плоскости \(\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{11}}; \quad \cos(\beta) = - \frac{3}{\sqrt{11}}; \quad \cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{11}}\)