Решим дифференциальное уравнение: \(y^2+x^2*y'=xyy', y(1)=1\)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции равных степеней. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$y^2+x^2*y'=xyy' =>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения $$y^2=xyy' - x^2*y' => y' = \frac{y^2}{xy - x^2} =>$$$$ \frac{dx}{dy}= \frac{xy - x^2}{y^2} => \frac{dx}{dy}= \frac{x}{y} - \frac{x^2}{y^2}$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(x' = f(\frac{x}{y})\), т.е. рассматриваем функцию \(x = f(y)\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(x= uy => x' = u'y+u\), получаем $$ u'y+u = \frac{uy}{y} - \frac{(uy)^2}{y^2} => u'y = - u^2 $$ получили дифференциальное уравнение уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{du}{dy}y = - u^2 => \frac{du}{u^2} = -\frac{dy}{y}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{u^2} =- \int \frac{dy}{y} => - \frac{1}{u} = -\ln(y)-\ln(C) $$ Примени обратную замену \(x = uy => u = \frac{x}{y}\), получаем $$ \frac{y}{x} = \ln(yC) => x = \frac{y}{\ln(yC)} $$
Найдем уравнение, удовлетворяющее начальному условию \( y(1)=1\)
Подставим значения в ответ и найдем константу \(C\) $$ x = \frac{y}{\ln(yC)} => 1 = \frac{1}{\ln(C)} => C=e$$
Ответ: \(x = \frac{y}{\ln(y*e)} \)
